微积分方法建模数学建模案例分析§6消费者均衡模型当一个消费者用一定数额的钱去购买两种商品时，分别用多少钱买甲和乙能得到最大的满意度。经济学上称这种最优状态为消费者均衡。一、无差别曲线如果占有数量的商品和数量的商品（下图点）与占有的和的（下图点）是同样的满意的话，称和是无差别的。或者说和相比，愿意以的减少（）换取的增加（）。所有与、具有同样满意度的点组成一条无差别曲线，而比这些点的满意程度更高的点如则位于另一条无差别曲线上，这样有无数条无差别曲线，记作。y其中称满意度，随着的增加，曲线向右上方移动。无差别曲线应是单调减的（增大时减小），下凸的（当占有的较小时，愿以较多的变换较少的，而当占有的较大时，就要用较多的换取换取较少的）。和互不相交的（否则交点处有不同的满意度）。二、消费者均衡记―甲商品的单价，―购买甲商品的数量，―乙商品的单价，―购买乙商品的数量当消费者占有甲、乙两种商品的数量分别是、时的满意程度，或者说它们给消费者带来的效用，是、的函数，记作，称为效用函数（utilityfunction）。显然的图形是无差别曲线族。若消费者有（元）钱，购买甲、乙两种商品，消费者均衡状态在什么情况下达到，归纳为在条件下求比例，使效用函数达最大。于是得消费者均衡状态达到条件是（1）即两种商品的边际效用之比恰好等于价格比时达到。一般构造效用函数时应注意满足条件：，，，，，这时确定的一元函数是单调减下凸的。因为①说明单调减少②说明是下凸的。下面列举几个常用的效用函数，分析消费者均衡状态下，最优比例的实际意义。1、，根据(1)式求得（2）表明均衡状态下买两种商品所用钱的比例与价格比的平方根成正比，同时与,有关,越大(越大)购买甲的钱越少(多)。说明效应函数中和分别表示对甲和乙的偏爱程度。２、，根据（１）式求得（3）表明均衡状态下买两种商品所用的钱的比例与价格无关,而参数和分别表示消费者对甲和乙的偏爱程度。