4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、填空题1．已知cos(π＋x)＝eq\f(3,5)，x∈(π，2π)，则tanx＝________.解析由cos(π＋x)＝－cosx＝eq\f(3,5)，得cosx＝－eq\f(3,5)＜0，所以x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2))).此时sinx＝－eq\f(4,5)，故tanx＝eq\f(4,3).答案eq\f(4,3)2.已知f(cosx)=cos2x,则f(sin75)=.解析∵sin75=sin(90-15)=cos15,∴f(sin75)=f(cos15)=cos)=cos30.答案3．设tan(5π＋α)＝m，则eq\f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α)的值为________．解析∵eq\f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α)＝eq\f(sin－4π＋π＋α－cosα,－sinα＋cosα)＝eq\f(sinπ＋α－cosα,－sinα＋cosα)＝eq\f(－sinα－cosα,－sinα＋cosα)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)，又tan(5π＋α)＝m，∴tan(π＋α)＝m，tanα＝m，∴原式＝eq\f(m＋1,m－1).答案eq\f(m＋1,m－1)4．若tanα＝2，则eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)的值是________．解析原式分子与分母同除以cosα得：eq\f(tanα－3,tanα＋1)＝eq\f(2－3,2＋1)＝－eq\f(1,3).答案－eq\f(1,3)5．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(2,3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)))＝________.解析sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(2,3).答案－eq\f(2,3)6．已知cos(π－α)＝eq\f(8,17)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，则tanα＝________.解析cos(π－α)＝－cosα＝eq\f(8,17)，即cosα＝－eq\f(8,17).又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，∴sinα＜0.所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(15,17).故tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(15,8).答案eq\f(15,8)7．已知sinαcosα＝eq\f(1,8)，且eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)，则cosα－sinα的值是________．解析1－2sinαcosα＝(sinα－cosα)2＝eq\f(3,4)，又∵eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)，sinα＞cosα.∴cosα－sinα＝－eq\f(\r(3),2).答案－eq\f(\r(3),2)8．若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则2tanx＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))的最小值为________．解析因为x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以tanx>0.所以2tanx＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝2tanx＋eq\f(1,