第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式【2013年高考会这样考】1．考查同角三角函数的基本关系式．2．考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用．【复习指导】本讲复习时应紧扣三角函数的定义，理解记忆同角三角函数的基本关系式和诱导公式；特别是对诱导公式的记忆口诀要理解透彻，可通过适量训练加强理解，掌握其规律．基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.2．诱导公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cos_α，其中k∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tanα.公式三：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α.公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α.公式五：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα.公式六：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α.诱导公式可概括为k·eq\f(π,2)±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝taneq\f(π,4)＝….三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．双基自测1．(人教A版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝eq\f(1,2)，则cosα的值为()．A．±eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．±eq\f(\r(3),2)解析∵sin(π＋α)＝－sinα＝eq\f(1,2)，∴sinα＝－eq\f(1,2).∴cosα＝±eq\r(1－sin2α)＝±eq\f(\r(3),2).答案D2．(2012·杭州调研)点A(sin2011°，cos2011°)在直角坐标平面上位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析2011°＝360°×5＋(180°＋31°)，∴sin2011°＝sin[360°×5＋(180°＋31°)]＝－sin31°＜0，cos2011°＝cos[360°×5＋(180°＋31°)]＝－cos31°＜0，∴点A位于第三象限．答案C3．已知cosα＝eq\f(4,5)，α∈(0，π)，则tanα的值等于()．A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．±eq\f(4,3)D．±eq\f(3,4)解析∵α∈(0，π)，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(3,5)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4).答案B4．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))的值是()．A.eq\r(2)B．－eq\r(2)C．0D.eq\f(\r(2),2)解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))＝coseq\f(17π,4)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\