综合高中高三数学学案第二节‍同角三角函数的关系式及诱导公式‍‍‍‍初稿卢福明审定知识点解析‍1.同角三角函数的基本关系‍(1)倒数关系：‍tan‍α·‍cot‍α=1;(2)商数关系：=‍tan‍α;=‍cot‍α;(3)平方关系：‍sin2α+‍cos2α=1‍2.三角函数的诱导公式（如下表）‍角函数正弦余弦-α-‍sin‍αcos‍απ‍±α‍sin‍α-‍cos‍α2‍π‍±α±‍sin‍αcos‍α±αcos‍α‍sin‍α±α-‍cos‍α±‍sin‍α‍‍‍【说明】‍‍(1)在利用同角三角函数的基本关系化简、求值时，要注意用“是否是同角”来区分和选用公式.(2)同角三角函数的三个关系式.‍sin2α+‍cos2α=1,=‍tan‍α和‍tan‍α·‍cot‍α=1,它们在计算、化简和证明中应用极为广泛,应熟练地掌握其等价形式,即‍sin‍α=‍cos‍α·‍tan‍α;‍cos‍α=；‍sin2α=1-‍cos2α；‍cos2α=1-‍sin2α;‍tan‍α=,并能灵活应用这些公式.(3)同角三角函数的关系式的基本用途:根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值(当然用三角函数的定义求解会更方便);化简同角的三角函数式;证明同角的三角恒等式.(4)两套诱导公式可概括为k·90°+α(k∈‍Z‍)的各三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的余名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，“奇变偶不变，符号看象限”.(5)诱导公式可将任意角的三角函数化成某个锐角的三角函数，因此，常用于求值和化简.‍3.求任意角的三角函数‍步骤：[任意负角的三角函数任意正角的三角函数0°到360°的三角函数‍锐角三角函数即：负变正，大化小，诱导公式变锐角.‍4.同角三角函数式和诱导公式的应用——求值、化简、证明‍(1)已知一个角的某个三角函数值，求该角的其它三角函数值.①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在的象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值，但该角的象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同的情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.（2）三角函数式化简的要求①项数尽量少；②函数种类尽量少；③次数尽量低；④尽量不含分母；⑤尽量不带根号；⑥能求出值，求出数值.（3）证明三角恒等式的一般方法①化繁为简：从一边开始证得它等于另一边.②左、右同一：证明左、右两边都等于同一个式子（或值）.③变换结论：即改证与其等价的结论.‍‍【说明】‍在计算、化简或证明三角函数式时，常用的技巧有：(1)“1”的代换.为了解题的需要，有时可以将1用‍sin2α+‍cos2α去代替.(2)切化弦.利用商数关系把正切化为正弦和余弦函数，在三角函数的变换过程中，往往利于发现等式两边的关系或使式子简化，但有时也需要化弦为切的变换.(3)整体代换.将计算式适当变形使条件可以整体代入，或将条件适当变形找出与算式之间的关系.(4)充分应用代数公式.如a3±b3=(a±b)(a2ab+b2),或(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3.‍‍题型一：诱导公式的应用‍［例1］：‍化简：sin‍(‍π‍-α)+‍cos‍(‍π‍-α)(n∈‍Z‍).‍‍练习：‍已知α是第三象限的角，且(1)化简f(α);(2)若‍cos‍(α-)=,求f(α)的值；题型二：已知角的一个三角函数值，求角的其它三角函数值‍［例2］：‍(1)已知‍cot‍α=-3,且α∈(,2‍π‍),求角α的其他三角函数值.(2)已知‍cot‍α=-3，求‍sin‍α,‍cos‍α的值.(3)已知‍cos‍α=m,(|m|<1),求角α的其他三角函数值.‍练习：‍已知=-1,求下列各式的值：(1);(2)‍sin2α+‍sin‍α‍cos‍α+2.‍‍题型三：‍sin‍θ±‍cos‍θ与‍sin‍θ、‍cos‍θ的互化问题‍［例3］：．（2012年高考（辽宁））已知,(0,π),则=A．1B．C．D．1‍练习：（1）（2012年高考（大纲））已知为第二象限角,,则（A．B．C．D．（2）（2011辽宁）设sin，则（A）（B）（C）（D）‍题型四：化简与证明‍［例4］：‍化简(-)×(-).‍‍练习：‍当x≠（k∈‍Z‍）时，的值‍（‍‍）‍A‍.恒为正‍‍‍‍B.‍恒为负C