许诗琦冯老师212-04-07二次函数解析式【知识梳理】1、确定a、b、c的值．二次函数：y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，且a≠0）a＞0开口向上，a＜0开口向下．抛物线的对称轴为x=，由图像确定的正负，由a的符号确定出b的符号．由x=0时,y=c，知c的符号取决于图像与y轴的交点纵坐标，与y轴交点在y轴的正半轴时，c＞0，与y轴交点在y轴的负半轴时，c＜0．确定了a、b、c的符号，易确定abc的符号．2、顶点与最值．若x可以取全体实数，开口向下时，y在顶点处取得最大值，开口向上时，y在顶点处取得最小值．例1、已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）其中正确的结论有（）．A.2个B.3个C.4个D.5个解析：此题考查了考点1、2．①错误．因为：开口向下＜0;对称轴x==1，可以得出b＞0;x=0时,y=c＞0，故abc＜0．②错误．因为：由图知x=－1时，y=a－b+c＜0，即b＞a+c．③正确．因为：由对称轴x=1知,x=0时和x=2时y值相等，由x=0时，y＞0，知x=2时，y=4a+2b+c＞0．④正确．因为：由对称轴x==1，可以得出a=－0.5b，代入前面已经证出b＞a+c，得出1.5b＞c,即3b＞2c．⑤正确．因为：抛物线开口向下，故顶点处y值最大，即x=1，y=a+b+c最大，此时a+b+c＞am2+bm+c（），即，（）．答案：B．3、图象与x轴交点．∵b2-4ac＞0，ax2+bx+c=0有两个不相等的实根；b2-4ac＜0，ax2+bx+c=0无实根；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0有两个相等的实根．∴b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点；b2-4ac=0，抛物线与x轴只有一个交点．例2、二次函数与x轴的交点个数是（）．A．0B．1C．2D．3解析：求图象与x轴的交点应令y=0，即x2－2x+1=0,∵b2-4ac＝4－4=0,∴二次函数图象与x轴只有一个交点．答案：B．4、二次函数解析式的几种形式．(1)一般式：y＝ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0).(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线y＝a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根.求解析式时若已知抛物线过三点坐标一般设成一般式，已知抛物线过的顶点坐标时设成顶点式，已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标时设成两根式．例3、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点．求该二次函数的解析式为．解析：（1）设二次函数解析式为，二次函数图象过点，，得．二次函数解析式为，即．5、二次函数的应用例6、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件元，利润为元，为涨价时的利润，为降价时的利润则：当，即：定价为65元时，（元）当，即：定价为57.5元时，（元）综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．例7、有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽是10米．（1）建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救灾物质的货车从甲地经此桥到乙地，已知甲地到此桥280km（桥身忽略不计）．货车正以40km/h的速度开往乙地，当行驶一小时时，忽然接到紧急通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点时，禁止车辆通行）．问：货车以原来的速度行驶，能否安全通过此桥？若能，说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？分析：（1）在平面直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，需要知道抛物线上点的坐标，因此将题目中的条件转化为抛物线上点的坐标是解决问题的关键。（2）货车能否安全通过此桥，可从三个方面考虑。一、可以对货车从接到通知到到达桥的时间与水位到达最高点的时间进行比较。前者小于后者，就可以安全通过，否则，不可以。二、先求出水位到达最高点需要的时间，然后计算出按原速度行驶的总路程与甲地到此桥的路程进行比较，前者大于后者，就可以安全通过，否则，不可以。三、先求出水位到达最高点需要