计算机数学基础(上)第4编代数系统本章主要内容：8.1环与域2。常见的环⑴整数集合Z对于数的加法和乘法构成一个环，称为整数环。⑵n阶方阵的集合对于矩阵的加法和乘法构成一个环，称为n阶方阵环。⑶整系数多项式集合对于多项式的加法和乘法构成环，称为整系数多项式环。⑷整数上关于模n的剩余类集合{[0],[1],…,[n-1]}对于模n的加法和乘法构成环，称为剩余类环。⑸G=，对于数的加法和乘法构成环。⑹{0}对于数的加法和乘法构成环，称为零环。3。环的性质⑴加法满足结合律，⑵加法满足交换律，⑶存在唯一的零元0(加法单位元)，不一定是数0，例如定义，则2是零元。⑷每一个元素都存在负元(加法逆元)，不一定是相反数，例如定义，则1的负元是3。⑸加法满足消去律，⑹乘法满足结合律，⑺乘法对加法满足分配律，⑻任何元素与零元相乘都等于零元。⑼任何元素与单位元相乘都保持不变。证明一个代数系统是环的方法：⑴证明加法在集合上满足结合律，⑵证明加法在集合上满足交换律，⑶找出加法的单位元0，⑷找出集合中任一元素的加法逆元。由此说明集合对加法构成交换群；⑸证明乘法在集合上满足结合律，由此说明集合对乘法构成半群；⑹证明乘法对加法在集合上满足左、右分配律，从而，证明该代数系统是环。[2001年1月证明题19]设R为实数集，证明(R,+)是交换群，(R,×)是半群，且×对+满足左、右分配律，即(R,+,×)是环，其中+，×是普通加法和乘法。证明：加法满足结合律加法满足交换律，R中存在0元，R中存在加法逆元，可见，(R,+)是交换群；乘法满足结合律可见，(R,×)是半群；满足左、右分配律，所以，(R,+,×)是环。4。几种特殊的环⑴交换环——乘法也满足交换律的环。在交换环中，⑵消去环——没有零因子的环。如果，则称a为左零因子，b为右零因子。是左零因子同时又是右零因子的元素称为零因子。在没有零因子的环中，消去律成立。即当时，⑶整环——有单位元1，而又没有零因子的交换环。并不是任何环都有单位元的，例如偶数环就没有单位元。单位元和零元一般也不是同一元素。在不同的乘法运算中，单位元是不同的。在数的乘法中，1是单位元。在矩阵的乘法中，In是单位元1。在剩余类乘法中，[1]是单位元1。如果定义，则0是单位元1。⑷除环——存在非零元、单位元，每个非零元都有逆元的环。整环不一定是除环，除环也不一定是整环。因为除环不要求乘法是可交换的。⑸子环——定义在环G的子集H上的环。例如，偶数环是整数环的子环。常见环的性质：二、域1。域的定义域是交换除环。(S,+,·)是域的条件是：⑴(S,+)是交换群，⑵(S-{0},·)是交换群，⑶乘法·对加法+满足分配律。以上三点也是证明一个代数系统是域的方法。思考：⑵为什么要说(S-{0},·)是交换群，而不是(S,·)是交换群呢？2。域与整环之间的关系除环不一定是整环，但域一定是整环。含有非零元的有限整环一定是域。3。常见的域有理数集对数的加法和乘法构成域称为有理数域。实数集对数的加法和乘法构成域，称为实数域。{0,1}对布尔加法和乘法构成域。4。域的性质：⑴加法在集合上满足交换律和结合律，⑵乘法在集合上满足交换律和结合律，⑶乘法对加法在集合上满足左、右分配律⑷集合中存在零元和单位元，⑸除零元外，集合中其它元素都存在唯一的乘法逆元。5。证明域的方法：先证明是代数系统，再证明是环，最后证明是交换除环。⑴证明对两种运算都封闭，⑵证明两种运算都满足结合律，⑶证明两种运算都满足交换律，⑷证明乘法对加法满足左、右分配律，⑸找出零元和单位元，⑹找出除零元外，其它元素的逆元。如果已知是代数系统，则第一步省略，如果已知是环，则只证乘法满足交换律和第五、六步。三、同态和同构1。同态映射如都是环，存在G到S的映射f，满足都有，则称f是G到S的一个同态映射。如同态映射f是满射，则称G到S存在满同态，记作2。环同构如果环之间存在一个双射的同态映射，则称环G与环S同构，记作8.2格与布尔代数3。代数格和偏序格的关系代数格和偏序格是等价的。代数格中的第一种运算在偏序格中相当于求最大下界运算，第二种运算在偏序格中相当于求最小上界运算。在数的集合中，求最大公约数gcd就是典型的求最大下界运算，求最小公倍数lcm就是典型的求最小上界运算。在格中任取元素a、b，无论a、b之间是否有关系都有：特殊地说，如果例如，如果a可以整除b，那么a、b的最大公约数就是a，a、b的最小公倍数就是b。4。子格若H是L的子集，是格，两种运算在H中是封闭的，则称为的子格。5。格