专题跟踪突破7简单的全等、相似及特殊四边形1．(2016·怀化)如图，已知AD＝BC，AC＝BD.(1)求证：△ADB≌△BCA；(2)OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．(1)证明：∵在△ADB和△BCA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝BC，,AB＝BA，,BD＝AC，))∴△ADB≌△BCA(SSS)(2)解：OA＝OB，理由是：∵△ADB≌△BCA，∴∠ABD＝∠BAC，∴OA＝OB2．(导学号：01262153)(2016·黄冈)如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：AG＝CH.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADF＝∠CFH，∠EAG＝∠FCH，∵E，F分别为AD，BC边的中点，∴AE＝DE＝eq\f(1,2)AD，CF＝BF＝eq\f(1,2)BC，∴DE∥BF，DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE∥DF，∴∠AEG＝∠ADF，∴∠AEG＝∠CFH，在△AEG和△CFH中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EAG＝∠FCH，,AE＝CF，,∠AEG＝∠CFH，))∴△AEG≌△CFH(ASA)，∴AG＝CH3．(导学号：01262154)(2016·长春)如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE，BF与CD交于点G.(1)求证：BD∥EF；(2)若eq\f(DG,GC)＝eq\f(2,3)，BE＝4，求EC的长．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∵DF＝BE，∴四边形BEFD是平行四边形，∴BD∥EF(2)解：∵四边形BEFD是平行四边形，∴DF＝BE＝4.∵DF∥EC，∴△DFG∽△CEG，∴eq\f(DG,CG)＝eq\f(DF,CE)，∴CE＝eq\f(DF·CG,DG)＝4×eq\f(3,2)＝64．(导学号：01262155)(2016·北京)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.(1)求证：BM＝MN；(2)∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．(1)证明：在△CAD中，∵M，N分别是AC，CD的中点，∴MN∥AD，MN＝eq\f(1,2)AD，在Rt△ABC中，∵M是AC中点，∴BM＝eq\f(1,2)AC，∵AC＝AD，∴MN＝BM(2)解：∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，由(1)可知，BM＝eq\f(1,2)AC＝AM＝MC，∴∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°，∵MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°，∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°，∴BN2＝BM2＋MN2，由(1)可知MN＝BM＝eq\f(1,2)AC＝1，∴BN＝eq\r(2)5．(导学号：01262156)(2016·大庆)如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴∠F＝∠FCD，在△ADG与△CDG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CD，,∠ADG＝∠CDG，,DG＝DG，))∴△ADG≌△CDG(SAS)，∴∠EAG＝∠DCG，∴AG＝CG(2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠F，∵∠AGE＝∠AGE，∴△AEG∽△FGA，∴eq\f(AG,FG)＝eq\f(EG,AG)，∴AG2＝GE·GF6．(导学号：01262157)(2016·内江)如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AFE＝∠DCE，,∠AEF＝∠DEC，,AE＝DE，))∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝CD，∴BD＝CD，∴D是BC中点(2)解：若AB＝AC，则四边形AFBD是矩形．理由如下：∵△AEF≌△DEC，∴AF＝CD，∵AF＝BD，∴CD＝BD；∵AF∥BD，AF＝BD，∴