专题跟踪突破10与圆有关的证明及计算1．(导学号：01262163)(2016·百色)如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E.(1)求证：∠1＝∠CAD；(2)若AE＝EC＝2，求⊙O的半径．(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDO＝90°，∵AC为⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD＋∠CAD＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠1＝∠BDO，∴∠1＝∠CAD(2)解：∵∠1＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDE，∴CD∶CA＝CE∶CD，∴CD2＝CA·CE，∵AE＝EC＝2，∴AC＝AE＋EC＝4，∴CD＝2eq\r(2)，设⊙O的半径为x，则OA＝OD＝x，则Rt△AOC中，OA2＋AC2＝OC2，∴x2＋42＝(2eq\r(2)＋x)2，解得x＝eq\r(2).∴⊙O的半径为eq\r(2)2．(导学号：01262164)(2016·东营)如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD＝∠ACB.(1)求证：AB是圆的切线；(2)若点E是BC上一点，已知BE＝4，tan∠AEB＝eq\f(5,3)，AB∶BC＝2∶3，求圆的直径．(1)证明：∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ACB＋∠DBC＝90°，∵∠ABD＝∠ACB，∴∠ABD＋∠DBC＝90°∴∠ABC＝90°∴AB⊥BC，∴AB是圆的切线(2)解：在Rt△AEB中，tan∠AEB＝eq\f(5,3)，∴eq\f(AB,BE)＝eq\f(5,3)，即AB＝eq\f(5,3)BE＝eq\f(20,3)，在Rt△ABC中，eq\f(AB,BC)＝eq\f(2,3)，∴BC＝eq\f(3,2)AB＝10，∴圆的直径为103．(导学号：01262165)(2016·贺州)如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE＝AB，∠BAC＝2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若AB＝8，BC＝6，求DE的长．(1)证明：∵AE＝AB，∴△ABE是等腰三角形，∴∠ABE＝eq\f(1,2)(180°－∠BAC)＝90°－eq\f(1,2)∠BAC，∵∠BAC＝2∠CBE，∴∠CBE＝eq\f(1,2)∠BAC，∴∠ABC＝∠ABE＋∠CBE＝(90°－eq\f(1,2)∠BAC)＋eq\f(1,2)∠BAC＝90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线(2)解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AB,AC)，∵在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝10，∴eq\f(AD,8)＝eq\f(8,10)，解得AD＝6.4，∵AE＝AB＝8，∴DE＝AE－AD＝8－6.4＝1.64．(导学号：01262166)(2016·常德)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，且有∠EBD＝∠CAB.(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)若BC＝eq\r(3)，AC＝5，求圆的直径AD及切线BE的长．(1)证明：连接OB，∵BD＝BC，∴∠CAB＝∠BAD,∵∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠EBD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，OA＝OB，∴∠BAD＝∠ABO，∴∠EBD＝∠ABO，∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°，∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线(2)解：设圆的半径为R，连接CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵BC＝BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA＝OD，∴OF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(5,2)，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠BDE＝∠ACB，∵∠DBE＝∠CAB，∴△DBE∽△CAB，∴eq\f(DB,CA)＝eq\f(DE,CB)，∴eq\f(\r(3),5)＝eq\f(DE,\r(3))，∴DE＝eq\f(3,5)，∵∠OBE＝∠OFD＝90°，∴DF∥BE，∴eq\f(OF,OB)＝eq\f(OD,OE)，∴eq\f(\f(5,2),R)＝eq\f(R,R＋\f(3,5))，∵R＞0，∴R＝3，∴AB＝eq\r(AD2－BD2)＝eq\r(33)，∵eq