第二章控制系统的数学描述(6-8学时)（建立系统的数学模型）2.0引言建模方法：实验法、分析法◆分析法－根据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参数，推导系统输入输出之间数学关系。建模（微分方程）步骤例2.1如图2.1所示，写出RC电路的微分方程。例2.2图2.2是具有转动惯量为J的转子，与弹性系数为K的弹性轴和阻尼系数为的阻尼器连接。假设施加的外扭矩为，则系统产生偏离平衡位置的角位移。试写出角位移与扭矩的微分方程。解：线性微分方程的求解？数学工具——拉普拉斯变换与反变换初值定理Step1F(s)化成下列因式分解形式：例2.3设线性微分方程为（3）对式（2.1.3）进行分解：例2.4设线性微分方程为2.2传递函数这里，“初始条件为零”有两方面意思：设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：性质1传递函数是复变量s的有理真分式函数，m≤n，且具有复变量函数的所有性质。（物理可实现）性质6传递函数与微分方程之间的关系。2.2.2典型环节的传递函数任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。2惯性环节特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为理想微分环节或一阶微分环节。二阶微分环节是构成物理系统的伴随产物，一般不单独存在。特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。可控硅直流闭环调速系统也是一个二阶振荡环节。6延时（滞后）环节K1是电位器的传递系数，G注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。目的：从系统的方块图方便地写出它的闭环传递函数，通常需要对方块图进行等效变换。方块图的等效变换必须遵守一个原则，即变换前后各变量之间的传递函数保持不变。在控制系统中，任何复杂系统主要由典型环节的方块经串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。（串联、并联、反馈）是三种基本形式的等效法则比较点的移动、引出点的移动比较点和引出点之间不能互移特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。结论：并联环节的等效传递函数等于并联环节传递函数的代数和。（3）反馈连接（闭环系统）（7）引出点之间互移补充结论：控制系统方块图简化的原则1.利用串联、并联和反馈的结论进行简化2.变成大环路套小环路3.解除交叉点比较点移向比较点：比较点之间可以互移引出点移向引出点：引出点之间可以互移注：比较点和引出点之间不能互移用方块图的等效法则，求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)43反馈公式将例2-9的系统方块图简化图2-30方块图的简化过程§用梅森公式求系统的传递函数（S·J·Mason）方块图是一种很有用的图示法。对于复杂的控制系统，方块图的简化过程仍较复杂，且易出错。Mason提出的信号流图，既能表示系统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。输入节点：具有输出支路的节点。图中的①回路中所有支路的乘积称为回路增益，用表示信号流图的性质信号流图适用于线性系统(传递函数一样)。支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭头指向传递。在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号送到所有的输出支路。具有输入和输出节点的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路把它作为输出节点来处理。对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的，由于描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式。信号流图的绘制⑴由微分方程绘制方程，这与画方块图差不多。⑵由系统方块图绘制。解：4个单独回路3、例题2总结●系统结构图中的几个基本概念及术语(3)开环传递函数Open-loopTransferFunction假设N(s)=0主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。(5)误差传递函数假设N(s)=0误差信号E(s)与输入信号R(s)之比。图2-15输出对扰动的结构图（7）误差对扰动的传递函数假设R(s)=0图2-17一阶RC网络将图（b）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为该一阶RC网络的方块图。urud为输入量，ω为输出量，i、m中间变量令:K1K1