1、拉氏变换f(t)F(s)2、拉氏变换的基本定理3、拉氏反变换F(s)f(t)4、拉氏变换法求解微分方程控制系统的微分方程，是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应，这种方法比较直观，尤其是借助于电子计算机，可迅速而准确地求解结果。但是，如果系统中某个参数变化或者结构形式改变，则需要重新列写并求解微分方程，不便于对系统进行分析与设计。采用拉氏变换的优点：将线性常微分方程转化为易处理的代数方程，可以得到系统在复数域中的数学模型——传递函数，简化了函数。它不仅可以表征系统动态特性，而且可以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。将时域的微分、积分运算，简化为代数运算。一、拉氏变换的定义设函数f(t)满足条件：(i).当t<0时，f(t)=0(ii).当t≥0时，f(t)及f’(t)除去有限个第一类间断点外处处连续。(iii).当t→∞时，|f(t)|顶多按指数增长，即：存在常数M≥0，σ0≥0使得：.则称(其中p为复数)为函数f(t)的拉普拉斯变换．令其中：f(t)变换原函数F(s)变换象函数s=+j复自变量又常写为拉氏变换将时间函数f(t)变换为复频域函数F(s)。二、常用信号的拉氏变换单位脉冲信号的说明：1）单位脉冲信号的面积：2）关于拉氏变换的积分下限。0-，0，0+3）理想脉冲信号与实际脉冲信号。（2）单位阶跃信号数学表达式由拉氏变换定义式单位阶跃信号的导数（3）单位斜坡信号数学表达式由分部积分公式（4）指数信号数学表达式拉氏变换为（5）正弦、余弦信号由于所以由尤拉公式所以有则常见时间信号的拉氏变换可以参见表2－1。三、拉氏变换的一些基本定理（1）线性定理：两个函数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的和。即f1(t)F1(s)，f2(t)F2(s)，则L[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)（2）延迟定理若有f(t)F(s)则L[f(t-)]=e-sF(s)例2－8周期锯齿波信号如图所示，试求该信号的拉氏变换。由延迟定理对于周期信号有第1周期的拉氏变换为所以有（3）衰减定理若有f(t)F(s)则与延迟定理是对偶的例2－9试求函数的拉氏变换。已知由衰减定理直接得到（4）微分定理：若有f(t)F(s)，且f(t)的各阶导数存在，则f(t)各阶导数的拉氏变换为：……当各阶导数的初值均为零时有（5）积分定理若有f(t)F(s)，则有积分为微分的逆运算，则积分定理为微分定理的对偶定理（6）初值定理若有f(t)F(s)，且在t=0+处有初值f(t0+)，则时域函数f(t)的初值可以由s域函数F(s)得到。（7）终值定理若有f(t)F(s)，且f(∞)存在，则时域函数f(t)的终值可以由s域函数F(s)得到。（8）卷积定理若函数分别有其拉氏变换：f1(t)F1(s)，f2(t)F2(s)，时域函数的卷积分为或者则拉氏变换的优点：四、拉氏反变换拉氏反变换为：其中：si为F(s)的极点。ai为F(s)对应于极点si的留数。下面分别讨论各种计算情况。1、A(s)=0全部为单根，s1,s2,…,sn例2－10已知，求拉氏反变换F(s)。解：极点为：s1=-2，s2=-3，对应极点的留数为：F(s)为：2、A(s)=0有重根设s1为单根，s2为m重根，m+1=n，F(s)可以展开为单根系数C1计算如前。由留数定理计算重根各系数如下……拉氏反变换为例2－11求的拉氏反变换f(t)。解：F(s)分解单根项系数：s1=0，s2=-3重根项系数：s3=-1，2重得到：f(t)为：3、A(s)=0有共轭复数根不要作单根分解，计算复杂，阅读教材内容。例2－12已知，试求其f(t)解：分解1、分离常数项2、余式二次三项式整理由于所以五、拉氏变换法求解微分方程例2－13RC滤波电路如图所示，输入电压信号Ui(t)=5V，电容的初始电压Uc(0)分别为0V和1V时，分别求时间解Uc(t)。解微分方程为作拉氏变换由线性定理得由微分定理得将RC=10K，C=10μF，Ui(s)=5/s代入整理得到输出的拉氏变换为（1）Uc(0)=0V时（2）Uc(0)=1V时