第二章控制系统的数学模型定义：§1控制系统的微分方程模型1.1数学模型方程的建立(3)消去中间变量i，得到最终的方程。例2-1-2（2）利用物料（能量）平衡式：把（2-1-4）代入（2-1-3）可得：（4）增量化步骤：3.改变后的动态方程式减去稳态方程(2)-(1)，得到增量方程式。(5)线性化方法：根据公式对（2-1-6）式中的非线性项（2-1-4）线性化。将此式在平衡工作点(h0)处展开成泰勒级数，并忽略增量Δh的高次项，则非线性的函数即近似为：设例2-1-3把（2-1-4）式线性化考虑到平衡关系式：(6)无因次化步骤：总结：▲方程处理：1.2线性系统的特性和分析均匀性：1.3纯滞后特性§2控制系统的状态空间模型2.1状态空间的基本概念对于线性定常系统，其状态方程的基本形式为2.2状态空间方程的建立（2）基本定理：（3）定义状态向量、控制向量和输出向量（4）可将2阶微分方程表示的系统写成2个一阶微分方程组的形式得到归纳建立状态方程的步骤：例2-2-2建立模型：(3)选择系统的状态变量X、控制变量U和输出变量y(5)列写输出方程注意：§3控制系统的复域数学模型它的常用基本性质：位移（滞后）定理几种典型环节的传递函数：（2）一阶惯性（滞后）环节：（3）二阶环节：（4）高阶环节：（5）积分环节：（7）PID环节：（8）纯滞后环节和带有纯滞后的一阶环节：注意：3.2方块图3.2方块图1、方块图中的基本符号（2）相加点2、方块图的基本连接形式(2)并联(3)反馈若正反馈：例2-3-1(2)求Y(s)/F(s)，(3)求E(s)/X(s)(4)求E(s)/F(s)例2-3-23.3方块图的等效变换规则2、分支点可交换4、相加点后移，乘G；相加点前移加除G（2）前移：5、分支点后移，除G；分支点前移，乘G（2）前移：总结：例2-3-3Y(s)Y(s)Y(s)3.4信号流图信号流图是由节点和连接两节点的支路组成。1、术语（和传递函数术语对照理解）（2）支路：连接两节点间的定向线段。(4)通路：沿箭头方向，穿过各相连支路的途径。注意：通路和回路的区别。X12、基本运算规则（3）自回路3、梅逊（Mason）公式例2-3-4R例2-3-4(3)例2-3-4(4)梅逊公式例R-C梅逊公式求C(s)梅逊公式求E(s)梅逊公式求E(s)G1(s)梅逊公式求E(s)信号流图例2-3-5例2-3-5(2)例2-3-5(3)例2-3-5(4)（2-3-1）例2-3-5(6)例2-3-5(7)例2-3-5(8)例2-3-6例2-3-7§4数学模型各种表达式之间的对应关系4.1微分方程和传递函数相应的传递函数是4.2微分方程和状态方程1、输入函数不含导数项（2）用矩阵表示为：例2-4-12、输入函数含导数项若要求得到的状态方程和输出方程的形式为与（2-4-1）比较，所以新变量应取这对一般高阶系统同样适用。（2）写成矩阵形式例2-4-24.3状态方程和传递函数（阵）有一2输入2输出的系统：见图：例2-4-3求（1）对象的传递矩阵（2）闭环控制系统的传递矩阵2、由状态方程求传递矩阵（函数）初始条件为零时，两式的拉氏变换为例2-4-4因此传递函数（单输入单输出系统）为：4.4状态方程间的变换与梅逊公式总增益：1写成矩阵形式：二、传递函数【例】则得状态变量图如下：列写状态方程：【例】分子分母都除以S【例】∫3、迭代程序法可画出状态变量图：【例】基本单元写成矩阵形式可知：系统状态变量的选择，不一定要在物理上是可测量的，例如选择作为状态变量，这从数学上讲是非常自然的。但从工程上说变量的导数项难以测量，而在最优控制或其他一些控制中，又要求用状态变量作为反馈信息，所以，在工程实际中，要尽量选择易于测量或计算的参数作为状态变量，如选择h1、h2作为状态变量。描述同一系统的不同的状态方程之间，究竟有什么关系?它们的统一性又表现在哪里?2、状态变换中特征值的不变性代入上式得对于n×n矩阵A，值得注意的是，例2-4-4本章小结：例：