第五章频率响应法5.1频率特性输入不相频率的正弦信号，测量稳态输出正弦的幅值和相位差。可绘出输入、输出幅值比和相位差与频率的关系曲线。反之，已知系统的频率特性G(jω)，可求得系统的稳态输出正弦的复数形式：5.1.2频率特性的求取例如，对于图示的电路,当ui(t)是正弦信号时,输出uo(t)的求取过程如下:设ui(t)=Usinωt,则其拉氏变换为电路的传递函数为第一项是输出的暂态分量,第二项是输出的稳态分量。当时间t→∞时,暂态分量趋于零,电路的稳态响应为另一方面，若令电路的传递函数中的s=jω,得到在零初始条件下，对应的微分方程为5.1.2频率特性的表示方法1)直角坐标法G(jω)的轨迹上的任意一点到坐标原点的连线长度即为系统的幅频特性；连线与正实轴的夹角即为相频特性。3)对数坐标法请注意对数刻度和线性刻度的区别对数频率特性采用ω的对数分度实现了横坐标的非线性压缩,便于在较大频率范围反映频率特性的变化情况。对数幅频特性采用20lgA(ω),则将幅值的乘除运算化为加减运算。设两个环节的频率特性为：5.2典型环节与开环系统频率特性2.积分环节积分环节的频率特性为图5-8积分环节的奈氏图图5-9积分环节的伯德图3.微分环节微分环节的频率特性为图5-10微分环节的奈氏图图5-11微分环节的伯德图4.惯性环节惯性环节的频率特性为则有图5-12惯性环节的奈氏图图5-13惯性环节的伯德图当ωT=1时,ω=1/T称为交接频率,或叫转折频率、转角频率。惯性环节对数幅频特性曲线的绘制方法如下:先找到ω=1/T,L(ω)=0dB的点,从该点向左作水平直线,向右作斜率为-20dB/dec的直线。在低频段和高频段,精确的对数幅频特性曲线与渐近线几乎重合。在ω=1/T附近,可以选几个点,把由式(5.26)算出的精确的L(ω)值标在图上,用曲线板光滑地连接起来,就得精确的对数幅频特性曲线。渐近线和精确曲线在交接频率附近的误差列于表5-2中。由表可知,在交接频率处误差达到最大值:表5-3惯性环节对数相频特性曲线角度值惯性环节对数相频特性曲线是一条中心点对称的曲线,这可以证明如下:取两个关于ω=1/T对称的频率ω1=α/T和ω2=1/(αT),则有图5-14MATLAB绘制的惯性环节的伯德图5.一阶微分环节一阶微分环节的频率特性为图5-15一阶微分环节的奈氏图图5-16一阶微分环节的伯德图6.二阶振荡环节二阶惯性环节的频率特性为对数幅频特性和相频特性为所以有图5-17二阶振荡环节的奈氏图画二阶振荡环节的伯德图时分析如下：在低频段,ω很小,ωT<<1,L(ω)=0dB；在高频段,ω很大,ωT>>1,L(ω)=-20lg(ωT)2=-40lg(ωT)dB。其对数幅频特性曲线可用上述低频段和高频段的两条直线组成的折线近似表示,如图5-18的渐近线所示。这两条线相交处的交接频率ω=1/T,称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率。在交接频率附近,对数幅频特性与渐近线存在一定的误差,其值取决于阻尼比ζ的值,阻尼比越小,则误差越大,如表5-4所示。当ζ＜0.707时,在对数幅频特性上出现峰值。根据表5-5可绘制出不同阻尼比的相频特性曲线。二阶振荡环节的伯德图如图5-18所示。表5-4二阶振荡环节对数幅频特性曲线渐近线和精确曲线的误差(dB)表5-5二阶振荡环节对数相频特性曲线角度值图5-18二阶振荡环节的伯德图7.迟后环节迟后环节的频率特性为图5-19迟后环节的奈氏图图5-20迟后环节的伯德图3、控制系统开环频率特性曲线的绘制(3)求奈氏图与实轴的交点,交点可利用G(jω)的虚部Im［G(jω)］=0的关系式求出,也可利用∠G(jω)=n·180°(其中n为整数)求出;(4)如果有必要,可求奈氏图与虚轴的交点,交点可利用G(jω)的实部Re［G(jω)］=0的关系式求出,也可利用∠G(jω)=n·90°(其中n为正整数)求出;(5)必要时画出奈氏图中间几点;(6)勾画出大致曲线。例5-1试绘制下列开环传递函数的奈氏图:奈氏图与实轴的交点可由φ(ω)=0°得到,即为(10,j0);奈氏图与虚轴的交点可由φ(ω)=270°(即-90°)得到,即故奈氏图与虚轴的交点为(0,-j2.87)。其奈氏图如图5-21所示。用MATLAB绘制的奈氏图如图5-22所示。注意,一般手绘的奈氏图,其频率范围是0~+∞,而MATLAB绘制奈氏图时,则是从-∞~+∞。MATLAB绘制程序如下：nyquist(［10］,conv(［11］,［0.11］))图5-21例5-1的奈氏图图5-22MATLAB绘制例5-1的奈氏图例5-2已知系统的开环传递函数为图5-23例5-2的奈氏图例5-3设系统的开环传递函数为因为相角从-90°变化到-270°,