第5章控制系统的频域分析法时域分析法是在系统微分方程已建立的基础上，以拉氏变换为数学工具直接求出系统的时间响应，再根据时间响应表达式或响应曲线对系统的性能进行分析。这种方法较为直接，也符合人们的习惯。但存在以下不足之处：(1)对于高阶或较为复杂的系统难以求解和定量分析。(2)当系统中某些元器件或环节的数学模型难以求出时，整个系统的分析将无法进行。(3)系统的参数变化时，系统性能的变化难以直接判断，而需重新求解系统的时间响应，才能得到结果。(4)系统的性能不满足技术要求时，无法方便地确定应如何调整系统的参数来获得预期结果。(5)必须由闭环传递函数求系统的稳定性。根轨迹分析法是一种快速、简洁而实用的图解分析法，它根据图形的变化趋势即可得到系统性能随某一参数变化的全部信息，从而可以获得应如何调整系统的参数来获得预期结果，是一种非常实用的求取闭环特征方程式根和定性分析系统性能的图解法，特别适用于高阶系统的分析求解。但对于高频噪声问题、难以建立数学模型等问题仍然无能为力。从工程应用的角度出发，希望找出一种方法，使之不必求解微分方程就可以预示出系统的性能。同时，又能指出如何调整系统参数来得到预期的性能技术指标。频域分析法具有上述特点。它是20世纪30年代发展起来的一种经典工程实用方法，是一种利用频率特性进行控制系统分析和设计的图解法，可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。其优点如下：(1)利用系统的开环传递函数求解闭环系统的稳定性，而不必求解闭环系统的特征根。(2)频域分析法具有明显的物理意义，可以用实验的方法确定系统的传递函数。对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。(3)对于二阶系统，频域性能指标和时域性能指标具有一一对应的关系。对高阶系统存在可以满足工程要求的近似关系，使时域分析法的直接性和频域分析法的直观性有机地结合起来。(4)可以方便地研究系统参数和结构的变化对系统性能指标带来的影响，为系统参数和结构的调整和设计提供了方便而实用的手段，同时可以设计出能有效抑制噪声的系统。(5)在一定条件下，可推广应用于某些非线性系统。频域分析法不仅适用于线性定常系统分析，而且还适用于传递函数中含有延迟环节和部分非线性环节系统的分析。本章将首先讨论频率特性的基本概念、典型环节及系统频率特性的求取及其作图方法，然后讨论频率特性与闭环系统的稳定性、频率特性与时域响应的关系，最后讨论MATLAB频域特性分析的一般问题。第5章控制系统的频域分析法·127·5.1频率特性5.1.1频率特性的基本概念频域分析法是利用频率特性这一数学模型在频率域中对系统进行分析的图解法。那么什么是频率特性？先看一个实例。【例5.1】已知RC电路如图5.1所示，求正弦输入信号作用下的稳态解。解：由图5.1中各量可知图5.1RC电路+=iRuoiuduic=odt得duRCuo+=udtoi或duTo+=uu，T=RCdtoi得到RC电路的传递函数为Us()1o=+Ui()sTs1Aω设输入信号为U()tA=sinωt，其拉氏变换为Us()=，则输出的拉氏变换为iis2+ω211ωUs()==⋅Us()oiTs+++11Tss22ωωωω=⋅−⋅+⋅AT1ATsA+++++22ωωωωω12222222211TTsTss+1T−t−ATωωAATut()==L1[]Es()eT+sinωωt−costoc11++TT22ωω221+T22ωATωω−tA1T=+Tωω−22e(sinttcos)1+Tω11++TT22ωω221+T22ωATω−tA=+Tωω−22esin(tTarctan)1+Tω1+T22ω··127·128·自动控制原理稳态解==A[][]ωω−=ωω−uoos(tut)lim()sintarctanTBtsinarctanTt→∞1+T22ω令⎧B1⎪A()ω==⎨A1+T2ω2(5.1)⎪⎩ϕω()=−arctanωT则=⋅ωω[+ϕω]utos()AA()sint()(5.2)结论：(1)稳态解与输入信号为同一频率的正弦量；(2)当ω从0向∞变化时，其幅值之比A()ω和相位差ϕ()ω也将随之变化，其变化规律由系统的固有参数RC决定；(3)系统稳态解的幅值之比A()ω是ω的函数，其比值为B11A()ω===A1+ω22T1j+ωT(4)ϕ()ω为输出稳态解与输入信号的相位差，也是ω的函数，且为1ϕ(ωω)=−arctanT=∠1j+ωT上述结论同样适用于一般系统。设线性定常系