第4讲定积分与微积分的基本定理★知识梳理★1、定积分概念定积分定义：如果函数在区间上连续，用分点，将区间等分成几个小区间，在每一个小区间上任取一点，作和，当时，上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即，这里、分别叫做积分的下限与上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.2、定积分性质（1）；（2）（3）3、微积分基本定理一般地，如果是在上有定义的连续函数，是在上可微，并且，则，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式，为了方便，常常把，记作，即.4．、常见求定积分的公式（1）（2）（C为常数）（3）（4）（5）（6）（7）★重难点突破★1.重点：定积分的计算和简单应用。2.难点：利用定积分求平面区域围成的面积3.重难点：掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积.（1）弄清定积分与导数之间的关系问题1.一物体按规律做直线运动，式中为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比（比例常数为），试求物体由运动到时，阻力所做的功.解析：要求变力所做的功，必须先求出变力对位称的变化函数，这里的变力即媒质阻力，然后根据定积分可求阻力所做之功.解因为物体的速度所以媒质阻力当时，，当时，，阻力所做功（2）掌握定积分在求曲边梯形面积的方法.问题2.求由抛物线与直线及所围成图形的面积.y解析：作出及的图形如右：6解方程组得x解方程组得62O所求图形的面积★热点考点题型探析★考点1:定积分的计算题型1.计算常见函数的定积分例1.求下列定积分（1）（2）（3）【解题思路】根据微积分基本定理，只须由求导公式找出导数为，，的函数就可，这就要求基本求导公式非常熟悉.解：（1）（2）（3）【名师指引】简单的定积分计算只需熟记公式即可.题型2:换元法求定积分例2.计算:【解题思路】：我们要直接求的原函数比较困难，但我们可以将先变式化为，再求积分，利用上述公式就较容易求得结果，方法简便易行.解析：【名师指引】较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分.题型3:计算分段函数定积分例3.求【解题思路】：首先是通过绝对值表示的分段函数，同时又是函数复合函数与的运算式，所以我们在计算时必须先把积分区间分段，再换元积分或奏变量完成.解析：【名师指引】若被积函数含绝对值，往往化成分段函数分段积分，注意本题中，这实际是一种奏变量的思想，复合函数的积分通常可以奏变量完成，也可以换元完成.题型4:定积分的逆运算例4.已知求函数的最小值.【解题思路】：这里函数、都是以积分形式给出的，我们可以先用牛顿莱布尼兹公式求出与，再用导数求法求出的最小值.解析：当时，最小=1当时，最小=1【名师指引】这是一道把积分上限函数、二次函数最值，参数混合在一起综合题，重点是要分清各变量关系.积分、导数、函数单调些，最值、解析式交汇出题是近几年高考命题热点，把它们之间的相互关系弄清是我们解此类问题的关键。【新题导练】.1．(广东省揭阳二中2009届高三上学期期中考试)计算：解析:82..设则=（）A.B.C.D.不存在解析选C考点2:定积分的应用题型1.求平面区域的面积例1求在上，由轴及正弦曲线围成的图形的面积.【解题思路】：因为在上，，其图象在轴上方；在上，其图象在轴下方，此时定积分为图形面积的相反数，应加绝对值才表示面积.y解析：作出在上的图象如右Л0x与轴交于0、、，所2Л求积【名师指引】利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：第一步：画出图形，确定图形范围第二步：解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限第三步：确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置第四步：计算定积分，求出平面图形面积题型2.物理方面的应用例2.汽车每小时54公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度3米/秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？【解题思路】汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式.解析：由题意，千米/时米/秒，令得15－3t=0，t=5，即5秒时，汽车停车.所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为公里答：汽车走了0.0373公里.【名师指引】tvaboV=v(t)若作变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为，由定积分的物理意义可知，作变速运