第二章关系定义2.2:设R是从A到B的二元关系,A的一个子集{a|存在b,使得(a,b)R}称为R的定义域,记为DomR。B的一个子集{b|存在a,使得(a,b)R}称为R的值域,记为RanR。A称为R的前域,B称为R的陪域,并且DomRA,RanRB。例:A={1,3,5,7},B={0,2,4,6},定义关系R:(a,b)R当且仅当a<b关系还可以用表格表示R={(1,2),(1,4),(1,6),(3,4),(3,6),(5,6)}A={1,2,3,4},定义A上二元关系:(a,b)R当且仅当(a-b)/3为整数。称为模3同余关系。R={(a,b)|(a-b)/3为整数，a,bA}={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,4),(4,1)}DomR=RanR=A。进一步可定义整数集上的模r同余关系：{(a,b)|(a-b)/r为整数,a、bZ,rZ+}定义2.3：设A1,A2,…An是n个任意集合,定义A1×A2×…×An的子集R为A1,A2,…An的n元关系,当A1=A2=…=An时,R称为A上的n元关系。2.2关系的性质(2)反自反：如果对任意aA,有(a,a)R,则称R是反自反的。反自反要求对任意的A中元素a，有(a,a)R。不是自反的，不一定反自反不是反自反的，也不一定是自反的。R3={(1,2),(3,2)}是A上的反自反关系思考：非空集合A上的空关系是否自反？反自反？(3)对称：对任意a,bA,如果aRb必有bRa,则称R是对称的。A={1,2,3,4}S1={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)}对称S2={(1,2),(2,1),(1,3)}因为(1,3)S2,而(3,1)S2,所以S2不是对称的S3={(1,2),(2,1),(3,3)}对称(4)对任意a,bA,如果aRb且bRa,必有a=b,则称R是反对称的。该定义实际上表明：当ab时，若有(a,b)R,则(b,a)R。不是对称，不一定是反对称的不是反对称的，也不一定是对称的。可以既是对称的，又是反对称的(5)对任意a,b,cA,如果aRb且bRc,必有aRc,则称R是传递的。注意：传递要求是：只要有aRb,bRc,则必须有aRc但若没有aRb,bRc，当然也就不需要讨论是否有aRc。例：A上的非空关系R是对称的和反自反的，则R不是传递的。证明:反证法.假设R传递.注意，当导出(a,a)R时，千万不能说R自反。因为自反的要求是：如果对任意aA,有aRa。A到B的关系是A×B的子集。关系的表示，可以用集合的表示方法对于有限集,关系还可以用矩阵或图形来表示定义2.5：设A和B是两个有限集A={a1,a2,…,am},B={b1,b2,…,bn}，R是从A到B的二元关系,称m×n阶矩阵MR=(mi,j)为R的关系矩阵,其中例:A={1,2,3,4}上模3同余关系R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,4),(4,1)},其关系矩阵为例：A={2,3,4},B={1,3,5,7},A到B的<关系R={(2,3),(2,5),(2,7),(3,5),(3,7),(4,5),(4,7)},其关系矩阵为MR怎样表示？规定MR上方B，左方为A,此时R与MR唯一对应。设R是A上的二元关系,若R是自反的,则MR中的对角线元素均为1若R是反自反的,则MR中的对角线元素均为0。若R是对称的,则MR是对称矩阵。若R是反对称的,则在MR中对于i<j,由mij=1可推出mji=0。集合A到集合B的二元关系个数集合A到集合B的二元关系是集合A×B的子集，因此应考察A×B有多少个不同的子集，也就是考察A×B的幂集的元素个数。因为|A×B|=|B||A|,故|P(A×B)|=2|A||B|，因此集合A到集合B的二元关系个数是2|A||B|A上的二元关系个数有多少个？设|A|=n，则A上的二元关系个数有2n2A上有多少个自反关系？A={a1,a2,,an}A×A=?用矩阵形式表示：自反关系一定包含{(a1,a1),(a2,a2),,(an,an)},余下的共有n2-n个元素，可组成2n2-n个不同的关系。故不同的自反关系有2n2-n个。有限集A上的二元关系除用方阵表示外,还可用关系图来表示。这种图称为有向图。设A={a1,a2,…,an},R是A上的二元关系。A中每个元素ai用一个点表示,称该点为顶点ai。如果aiRaj,则画一条从顶点ai到顶点aj的带箭头的线,称该线为弧。如果aiRai,则画一条从顶点ai到顶点ai的带箭头的封闭弧,称该弧为自环。对于关系R中每个有序对都可对应地画一条带箭头的弧,