2013届高三数学学案（七）：函数5——复杂函数一、基本问题：6.基本抽象函数问题（1）求抽象函数定义域原则：1.定义域是自变量x的范围；2.小括号内的范围相同。例1.的定义域为，则的定义域为。（2）求抽象函数解析式常用方法：（1）利用基本函数定义；（2）凑型（或换元）；（3）仿照原式写出另一个式子；（4）赋值法（最后考虑）。例2.（1）一次函数满足，则解析式为。（2），则解析式为。[变式]，则解析式为。（3），则解析式为。（4）定义域为R，，则解析式为。二、复杂问题：1.复杂抽象函数问题【基本策略1】例3.定义域为R，，求证：为奇函数一般地，一个函数若同时满足奇偶性、对称性、周期性中的任意两个性质，则能通过变量代换推出该函数也满足另一个性质。【探究】改变抽象函数符号的一般途径：（1）利用奇偶性（括号内）；（2）辗转代换（括号外）若，如何证明为周期函数？若，如何证明为周期函数？【基本策略2】例4.定义在的满足：①；②当。求证：（1）；（2）在递减。复杂抽象函数问题的核心：通过比较已知与所需形式的差异而变形复杂抽象函数的基本策略适用于一切给出恒等式的问题。2.复合函数的单调性复合函数问题的【基本策略】例5.（2004（理）10．）在上为增函数,的范围是.例6.的单调递增区间为。[变式]的单调递减区间为。求复合函数单调区间的原则：1.符号法则（同增异减）；2.单调区间是自变量x的范围；3.各个相复合的函数的单调区间是对应的。例7.为偶函数（1）求的单调区间和最值；（2）若有且仅有三个正整数解，求p的范围。三、上海高考近年命题热点：9.近年考函数的解答题在基础题位置出现多为考函数思想，函数奇偶性、单调性的证明及应用，以及函数背景的应用题（07（理）19,08（理）19,09（理）20,11（理）20，12（理）20,12（理）21），在压轴题位置出现多为学习型题（09（理）22,10（理）22），与模考中传统的考函数的压轴题考核证明单调性，考函数思想差别较大【反思】“函数”解题中的注意点有：1．2.四、同步练习：1.的定义域为，则的定义域为。2.，则解析式为。3.，则解析式为。4.的单调递减区间为。5.的单调递增区间为。6.定义在R上的满足。7.定义在R上的图像关于对称，对任意成立，，则。8.若，，,则…=．9.（2009（理）20.）（14分）有时可用函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。（1）（6分）证明：当时，掌握程度的增加量总是下降；（2）（8分）学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,,。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。10.（14分）在R上满足，，当。（1）（7分）判断的单调性并证明；（2）（7分）解不等式：。11.（18分）（1）（4分）当，求x的范围；（2）（6分）当，求证：在为增函数；（3）（8分）有三个不同的解，求m的范围。12.（2009（理）22.）（16分）定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”。（1）（4分）判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）（6分）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）（6分）已知对任何，满足“积性质”。求的表达式。