2009智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数464第五章方阵的特征值和特征向量2008年考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵2008年考试要求1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。一、三基与拓展1．特征值（针对方阵）1.1定义：AXX1.2基本性质与结论：●特征矩阵：AE●特征多项式：fAE●特征方程：0EA●11nniiiiiatrA●1niiA●如A的特征值为fA的特征值为f●设A为分块矩阵，即12sAAAA，则12,,...,sAAA的所有特征根就是A的特征根。2．特征向量2.1性质：2009智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数465首先它要求是一个非零的列向量，其次它是和某个特征值对应的，不能孤立存在，但反过来，一个重根特征值却可以对应多个线性无关的特征向量，但重根特征值对应线性无关的特征向量的个数不一定与重根特征值的重数相等，但对实对称矩阵一定相等，所以，实对称矩阵有多少个特征值（包括重根的重数）就一定有多少个线性无关的特征向量。全部特征向量构成0AX的一个基础解12,nrn为未知数的个数，nrnRA系数矩阵，不同特征值对应的特征向量必线性无关，同一特征值对应的特征向量不一定线性无关。2.2基本结论：对同一,12xx和是的特征向量，则112212,kxkxkk不全为零也是的特征向量，对于不同的,则112212,kxkxkk不全为零不是的特征向量。【例1】求000000aAaa的特征值和特征向量0a解：矩阵的特征方程为30EAa，a是A的三重特征根。此时求特征向量的齐次方程组为1230000000303000xxRSnRAx任意三个线性无关的向量都是它的基础解系，一般取特征向量TTT123100,010,001评注12331001000,1,0=010001001E正是三阶单位矩阵的三个列或行向量，这就是为什么在求形如100000000基础解系时，用2E的列向量依次补后两个坐标分量的原因。【例2】设n阶矩阵A的元素全为1，求A的特征值。解：2009智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数466111111111101,0,0,,01111100nnnAEnnn【例3】求200110111A的的特征值和特征向量。解：矩阵的特征方程为21,232001101201,2111EA，1是A的二重特征根。此时求特征向量的齐次方程组为1231001100110100100011001032101100001xxxRSnRA