第4章特征值与特征向量给定方阵A，对于某些非零向量x，通过线性变换得到的向量Ax与x是共线的，即存在数满足Ax=x，这时就是A的特征值，x就是A的对应于的特征向量.方阵A的特征值是反映方阵A的某种特征的数值(类似于R(A)),它在计算Akx时也起着重要作用.由于其广泛的应用背景，已研究出多种方法计算方阵的特征值和特征向量，特别是其经典数值计算方法和各种智能计算方法.本章内容涉及到线性方程组、矩阵和向量方面的诸多知识，要求大家具有一定的综合运用知识的能力.本章在复数范围讨论.4.1特征值与特征向量的概念与计算一般地,有Def4.1设A是n阶方阵,若存在数和非零向量x,使得Ax=x,则称为方阵A的特征值(eigenvalue),x是对应于的特征向量(eigenvectorcorrespondingtotheeigenvalue).首先注意,特征向量是非零向量.根据定义，有(1)若x是A的对应于的特征向量，则对于任意k0,kx也是A的对应于的特征向量.因为由Ax=x,可以推出这说明,方阵A的对应于的特征向量不是唯一的,而是有无限多个.(2)若x1,x2是A的对应于的特征向量且x1+x20,则x1+x2也是A的对应于的特征向量.由于Ax1=x1,Ax2=x2,于是由(1)和(2)知，对于方阵A的对应于的特征向量x1,x2,…xm,其非零的线性组合也是A的对应于的特征向量.令V={x|Ax=x},可以验证V是一个向量空间,称为A的对应于的特征子空间.4.1.2特征值与特征向量的计算根据特征值与特征向量的定义知,若线性方程组Ax=x有非零解x,则就是A的特征值,x就是A的对应于的特征向量.设Ax=x(A-E)x=0.(A-E)x=0有非零解|A-E|=0.为了方便,将称为方阵A的特征多项式(characteristicpolynomial),它是一个关于的n次多项式,可记为f(),称|A-E|=0为A的特征方程(characteristicequation).根据以上的分析知，方阵A的特征值就是其特征方程的根.因为在复数范围内,n次多项式必有n个复数根(重根按重数计算),例如关于的6次多项式(+1)2(-1/2)(-5)3=0的根为-1(二重根)、1/2(单根)和5(三重根),所以任意n阶方阵均存在n个特征值,进而方阵A的特征值是一些特殊的数值.diag(1,2,…,n)的特征值为1,2,…,n.若|A|=0,则|A-0E|=0,于是A有一个特征值0.(充要条件)若Ax=0有非零解,则=0是A的一个特征值.(充要条件)当得出方阵A的特征值后,方阵A的对应于的特征向量就是(A-E)x=0的所有非零解.由此可知,计算方阵A的特征值与特征向量的步骤如下:Step1计算A的特征多项式|A-E|.Step2令|A-E|=0得出A的所有不同的特征值.Step3对于每个不同的特征值,求出齐次线性方程组(A-E)x=0的所有非零解即得A的对应于的全部特征向量.更具体地说,先求出(A-E)x=0的一个基础解系1,2,…,n-r,其所有非零的线性组合k11+k22+…+kn-rn-r(只要k1,k2,…,kn-r不全为0)就是A的对应于的全部特征向量,其中R(A)=r.例4.1设求A的特征值与特征向量.Solution|A-E|=0得出A的所有不同的特征值=1,=7.当=1时,(A-1E)x=0为于是A的对应于1的全部特征向量为其中k1和k2不全为0.当=7时,(A-7E)x=0为同解的齐次线性方程组为令x3=1,于是A的对应于7的全部特征向量为例4.2设求A的特征值与特征向量.Solution|A-E|=0得出A的所有不同的特征值=0,=1.当=0时,(A-0E)x=0为令x3=2,于是A的对应于0的全部特征向量为当=1时,(A-1E)x=0为令x3=1,于是A的对应于1的全部特征向量为Remark一般地，若是A的k重特征值,则齐次线性方程(A-E)x=0的基础解系中至多含k个解向量.例4.3设求A的特征值与特征向量.Solution|A-E|=0得出A的所有不同的特征值=-1,=i,=-i.当=-1时,(A–(-1)E)x=0为令x1=1,A的对应于-1的全部特征向量为当=i时,(A–iE)x=0为令x3=1,A的对应于i的全部特征向量为当=-i时