会计学一.特征值与特征向量的定义和求法注意:1.只有方阵才有特征值与特征向量;2.特征向量必须是非零向量，而特征值不一定非零。如果是方程组的非零解，则有是的根。是的特征值的特征向量，是的特征根。综上，可得矩阵的特征值与特征向量的求法：分别求出它们的基础解系非零线性组合例1设1得基础解系为：例2证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则/显然单位矩阵的特征值全是1；零矩阵的特征值全是0；上（下）三角阵的特征值是它的全部主对角元。二、特征值和特征向量的性质/考虑上式左端行列式的展开式，它除了在式（5.1.5)中，令，得比较和，得于是可得特征值的重要性质:由易见，矩阵可逆的充要条件是它的所有特征值都不为零。并可证明，的属于特征值的全部特征向量，再添加零向量，便可以组成一个子空间，称之为的属于特征值的特征子空间，记为。不难看出，正是特征方程组的解空间。若是矩阵的特征值，是的属于特征值的特征向量，则有当可逆时，是的特征值；并且仍是矩阵的分别对应于特征值的特征向量；例已知n阶可逆方阵A的全部特征值为求的全部特征值及于是，由上述性质中的知，的全部特征向量值为三.矩阵的相似相似矩阵具有如下性质：另外，可以证明，相似矩阵还有以下性质：可逆矩阵。特别地，当时，有于是若~，则，其证明如下由上易见，若~，则矩阵，有相同的谱。取因此于是2）求。于是两端同时求次幂，得思考题思考题解答§５.２矩阵的相似对角化并将之代入上式，得由可逆知,且线性无关从而是的个线性无关的特征向量，是的个特征值。此时，令/与相对应的对角阵的主对角元正好是的全部特征值，并且的顺序与的顺序相对应.2)的顺序随的顺序改变而改变。证设的互不相等特征值及其对应特征向量且有设根据归纳假设，线性无关。于是综上，结论对一切正整数都成立。定理５．２．３设是ｎ阶方阵Ａ的ｍ个互异的特征值，是属于特征值的线性无关的特征向量,则由所有这些特征向量（共个）构成的向量组由定理和知，对阶方阵来说，只要属于它的各个互异特征值的特征向量的总数不少于,就可以相似对角化。那么，对它的特征值来说，属于它的线性无关的特征向量最多有多少个？由§５.1知，特征值对应的全部特征向量正好是特征方程组的全部非零解。因此，的属于特征值的线性无关的特征向量最多有个。另外，有定理５.2.4ｎ阶方阵Ａ的任一特征值的几何重数不大于它的代数重数。同时，由上面已知，A可相似对角化当且仅当二相似对角化的方法的一组基础解系则有例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？解之得基础解系求得基础解系解之得基础解系A能否对角化？若能对角解之得基础解系所以可对角化.注意则三、小结２．相似变换与相似变换矩阵思考题思考题解答/§５.３实对称矩阵的相似对角化定理1实对称矩阵的特征值为实数.于是有定理实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的。于是二、实对称矩阵的相似对角化定理对任一ｎ阶实对称矩阵Ａ，存在ｎ阶正交矩阵Ｑ，使得根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：解解之得基础解系解之得基础解系///于是得正交阵例设3阶实对称矩阵A的特征值为1，4，-2，矩阵A对应的特征值1和4的特征向量分别为同时例5.3.3已知为实对称矩阵，且证明：存在正交矩阵，使得从而有思考题思考题解答§５．４应用解令则方程组可表示成矩阵形式即即其中为积分常数。将式代入式，可得可令于是，可得与方程同解的方程组其中于是这类微分方程可以归结为等价的线性微分方程组，然后再利用特征值和特征向量求解。解令即于是由例5.4.1可知，从而二.Ｍａｒｋｏｖ过程这个例子从数学角度看可以抽象出一个数学模型，即一个有限状态的系统。它每一时刻处在一个确定的状态，并随着时间的流逝从一个状态转移为另一个状态，每一状态的概率只与前一个状态相关。这样的一种连续过程被称为Markov过程。称矩阵为转移矩阵。由系统的初始状态可以构造一个元向量称之为状态向量，记为，年后的状态向量记为，于是有时，有对于例5.4.3系统共有两种状态：使用和不使用，分别记为1和2，于是有取从而第三步将每一个特征值代入相应的特征方程组，求出基础解系，即得该特征值的特征向量．解解解方法一方法二方法三解五、判断方阵可否对角化解第一步求A的特征值．由第五章测试题/三、证明题．/测试题答案/