数学教学中合情推理能力的培养数学教学中合情推理能力的培养——从一道高考题谈起浙江省温州市四中李星明（325005）二00三年全国高考文科数学试题第15题是：在平面几何里，有勾股定理：“设三角形ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB+AC=BC”。拓展到空间类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得出的正确结论是“设三棱锥的三个侧面ABC、ACD，ADB两两相互垂直，则-------。这是一道考察学生合情推理能力的试题。试题的难度并不大，但从高考的阅卷情况来看，此题的得分率较低，从一个侧面反映出了数学教学中对学生的合情推理能力的培养重视不够，必须引起数学教育工作者的深思。数学教育家波利亚曾说过：“数学家的创造工作成果是论证推理，即证明，但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的，只要数学的学习过程稍能反映出数学发明过程的话，那么应当让猜测、合情推理占有适当的位置”。波利亚特别强调合情推理的重要作用，他认为合情推理对数学的研究比逻辑思维更重要。学生获得数学结论应当经历合情推理——演绎推理的过程，合情推理的实质是“发现”，重视合情推理能力的培养，有利于培养学生的创新意识。一、实施合情推理教学的一个案例高中代数下册有如下一道习题：证明凸n边形对角线的条数对于这个命题，给出来的结论比较突然，是如何得出来的？教师将命题改为：求凸n边形对角线的条数，通过合情推理来解决问题。下面是课堂教学片断：问题提出来后，同学们通过画草图，计算得出了：不少同学想直接归纳出结论，但遇到了困难，此时教师适时点拨。T：规律不明显，不能直接找到答案，能不能换个思维角度试试（学生思考）。由我猜想：，将以上各式两边相加，于是得到T：构成的数列既不是等差数列，也不是等比数列，求其通项遇到了困难。但S通过观察发现了是一个等差数列，应用逐差求和得出了表达式。S：假设（一个数学成绩平平的学生站了起来）T：你怎么知道呢？S：因为二次函数比较简单，我猜想应是二次函数。T：一次函数不是更简单吗？S：我开始想过会不会是n的一次函数，但在构成的点列中（3，0），（4，2），（5，5），（6，9）…任取三点：，所以不是n的一次式，的表达式我不清楚，先猜想它是n的二次式，试试看对不对。T：想法很好，继续讲下去。S：由用待定系数法，可求得T：有时猜想不可能一次到位，要靠不断观察，不断实验，猜猜推推，推推猜猜实现突破。S：我直接从凸n边形考虑：n边形每一个顶点与其余（n-3）个顶点（本身和相邻顶点除外）都可以连一条对角线，可连（n-3）条，n个顶点共连n（n-3）条，但每两点的连线都重复算了一次，共有条。T：没有采取从特殊到一般的思维方式，而是直接研究一般情况找出规律，这是一种常用的演绎推理，S还揭示了顶点与对角线之间的关系。从上面案例中我们可以看出，在教学中恰当地选择课本中的例习题改编成合情推理的探索性问题，能提高学生主动参与学习的积极性，充分发挥教师主导，学生主体的作用，对于发展学生的创造性思维能力有着重要的作用。二、数学教学中合情推理能力的培养归纳推理和类比推理是合情推理的两种主要推理形式，在数学教学中应把这两种推理形式作为重点加以培养。1、引导学生运用类比推理培养合情推理能力。类比就是根据两个对象或两类事物的属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法。显然由类比得到的结论不一定正确，必须加以证明才能确定，但作为寻求解题思路的一种重要思维方法，教学中应突出其在发展学生联想性思维和发现性思维中的作用。类比的表现形式十分丰富，其基本形式有：(1)关系类比从有限到有限：由从有限到无限：由；由“直到曲”：三角形面积公式扇形面积公式；由“概念”到“概念”：三角函数的定义复数的三角式极坐标与直角坐标的互化。(2)对偶数类比数学中对偶类比内容较多，包括指数与对数，三角与反三角，等差与等比数列,不等式与方程等。(3)高维与低维类比例1直角三角形ABC中，AD是斜边AB上的高，则有：；在三棱锥P—ABC中，三个侧面PAB、PBC、PAC两两相垂直，面积分别为，它们与底面所成的二面角分别为，O为P在底面的射影，底面面积为S，则有：。（4）方法类比例2．（1）已知且，求（2）设和满足其中A为不等于0的复数。证明：对于（1）设，则原题化为：若且求。对于（2），设，则原题化为：设x和y满足，其中A为不等于0的复数，证明：（5）模式类比模式类比主要包括图形转换，数形转换。例3设求的最小值。转换1原式化为：（1），可以看成动点到两定点的距离，由此可得，所以最小值为。转换2（1）式与复数的模有明显的相似性，记，。转换3记，则可理解为椭圆上一个动点，两焦点之间的距离，则。数学教学不仅要教“知识”，更重要的是教“思考”，强调类比思维在数学教学中的应用有其实际意义，将变大量的记忆为联