直线与圆、圆与圆的位置关系[知识能否忆起]一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)相离相切相交图形量化方程观点Δ＜0Δ＝0Δ＞0几何观点d＞rd＝rd＜r二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量化d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|[小题能否全取]1．(教材习题改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离解析：选B由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝eq\r(5)，0＜d＜eq\r(6)，故该直线与圆相交但不过圆心．2．(2022·银川质检)由直线y＝x＋1上的一点向圆x2＋y2－6x＋8＝0引切线，那么切线长的最小值为()A.eq\r(7)B．2eq\r(2)C．3D.eq\r(2)解析：选A由题意知，圆心到直线上的点的距离最小时，切线长最小．圆x2＋y2－6x＋8＝0可化为(x－3)2＋y2＝1，那么圆心(3,0)到直线y＝x＋1的距离为eq\f(4,\r(2))＝2eq\r(2)，切线长的最小值为eq\r(2\r(2)2－1)＝eq\r(7).3．直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝r2相交于A，B两点，且AB的长为2，那么圆的半径为()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(\r(6),2)C．1D．2解析：选B圆心(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq\f(1,\r(2)).那么r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|AB|))2＋d2＝eq\f(3,2)，r＝eq\f(\r(6),2).4．(教材习题改编)假设圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，那么实数k的取值范围是________．解析：由题意知eq\f(2,\r(1＋k2))＞1，解得－eq\r(3)＜k＜eq\r(3).答案：(－eq\r(3)，eq\r(3))5．两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，那么两圆公共弦所在的直线方程是____________．解析：两圆相减即得x－2y＋4＝0.答案：x－2y＋4＝01.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．2．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．直线与圆的位置关系的判断典题导入[例1](2022·陕西高考)圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，那么()A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能[自主解答]将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，所以点P(3,0)在圆内．故过点P的直线l定与圆C相交．[答案]A本例中假设直线l为“x－y＋4＝0”问题不变．解：∵圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，∴圆心(2,0)，r＝2.又圆心到直线的距离为d＝eq\f(6,\r(2))＝3eq\r(2)＞2.∴l与C相离．由题悟法判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：假设直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．以题试法1．(2022·哈师大附中月考)直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是()A．(－2eq\r(2)，2eq\r(2))B．(－eq\r(2)，eq\r(2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，\f(1,8)))解析：选C易知圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线l的方程是y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，根据点到直线的距离公式得eq\f(|k＋2k|,\r(k2＋1))＜1，即k2＜eq\f(1,8)，解得－eq\f(\r(2),4)＜k＜eq\f(\r(2),4).直线与圆的位置关系的综合典题导入[例2](1)(2022·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4