理解数学归纳法原理的心理困难菲施拜因(E.Fischbein)等评介本文原标题为PsychologicalDifficultiesinUnderstandingthePrincipleofMathematicalInduction，作者菲施拜因和埃吉尔(Engel，L.)都是以色列人。他们先作了一次初步调查，收集到学生的各种回答，了解到大致倾向，然后针对关键所在，选取学生的有关说法作为问卷中的问题深入调查，得到一定的数据，诊断出主要心理困难，方法简单，容易仿效。本文实际上指明了：数学的程式化运算与对数学原理的理解是不同方面的问题，需要分别解决，不能混为一谈。即使学生掌握了有关的解题方法和技巧，仍有可能对概念、原理的意义不理解。这种情况在数学教学中普遍存在，只不过表现程度有所不同罢了。这是本文选题的深刻之处。原文载于ProceedingsofPsychologyofMathematicsEducation13(1989)。(李士锜)引言数学归纳法原理可叙述如下：(1)如果命题p(n)当n=1时证明成立，(2)如果能证明对n=k，从p(k)可推出p(k+1)，那么p(k)对每个数n都成立。变量范围为自然数集合(起始数可以不是1，但一般为1)。用公理化形式描述。即为：[p(1)和∀k[p(k)→p(k+1)]]→∀n,p(n)。还可以作更明确的描述：定理：p(n)；证明：使用数学归纳法；归纳基础：证明p(1)；归纳假设：设p(k)；归纳推理：从归纳假设证明p(k+1)。这种推理的本质特征用庞加莱的话来说就是：“把无穷的三段论纳入唯一的公式中。”利用归纳法原理作证明，会产生各种技巧上的困难，但更令人注意的问题是，即使学生具有应用数学归纳法的技巧，也常常不能真正理解它的意义。方法为了更好地了解学生在学习数学归纳法原理中遇到的困难，我们对中学十一年级共41个班级138名学生进行了调查研究。他们共上了有关数学归纳法的课15节(在大纲范围内)，这一阶段课以后，要求被试者回答一系列问题，在本文中我们仅讨论有关归纳假设的下列4个问题：(1)雅可夫说：“我已用数学归纳法证明了一个定理，而我实际上并不能肯定我所证的定理是否真的成立，因为我用到了归纳假设(命题对某个k成立)，但我不知道命题对这个k是否真的成立。”你同意雅可夫的看法吗?是____／否____说出你的理由。(2)丹尼说：“我们用数学归纳法的归纳基础和归纳推理证明了一个定理，尽管我们得到了证明，但假设还只是假设。在假设否定时，整个证明就没有根据了。”你同意丹尼的看法吗?是____／否____说出你的理由。(3)“归纳假设”只是假设。你有方法去检验归纳假设所表示的判断成立吗?有____／无____说出你的理由。(4)你是否同意下述说法：“使用数学归纳法的证明过程中，归纳推理存在一个缺陷：在这一步中，我们开始时假设命题是正确的，进而依赖它去推出命题成立。”是____／否____说出你的理由。以上这些问题都是在作初步调查时学生所作的回答及评论。我们的结论是：他们的确说出了自己的错误理解，而且值得花时间去确定其结构和出错率。结果下面我们列举学生赞同或否定调查卷中说法所表达的理由,并作了分类，引用了一些例子。统计数据从略。正确回答(1)第一种类型：结构性的回答。“两部分证明之后(确认了基础，证明了归纳推理)，就证明了命题对每个大于归纳基础的自然数都成立，假设就成了事实。”2(2)第二种类型：一连串过程的解释。“数学归纳法过程证明了归纳假设。首先，我们肯定了归纳基础；然后，归纳推理的成立又肯定了命题对下一个自然数成立。这样，从归纳法基础开始，这种方法产生了无数个正确命题，于是，命题对每个自然数都成立。”不正确的回答(1)归纳假设的根据是有理由的。例：①“如果归纳假设得证了，命题也就得证了。”②“在与归纳假设相反的结论得证以前，应把它看成是正确的。”③“只要归纳假没成立，命题就成立。”(2)归纳假设的正确性是有保证的。例：①“虽然证明过程未证明归纳假设，但我们知道它是成立的。”②“归纳假设成立，因此我们可以相信它。”(3)归纳假设的成立是不能证明的。例：①“我们设了归纳假设成立，但不能证明它。”②“归纳假设是完全不可能证明的。(4)归纳假设的成立与归纳推理的成立没有关系。例：①“可能有这种情况：归纳假设并不成立，而用归纳法原理的证明是对的。”②“归纳假设虽然有可能不正确，但如果归纳基础和归纳推理成立