向量组的线性相关性与矩阵的秩练习（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩练习班级：姓名：学号：1.已知向量,若,求.2.试直接(即不利用线性相关的定义叙述个向量线性无关的定义.3.判断向量是否为向量组的线性组合,为什么?4.将向量表示成向量组的线性组合.5.将向量表示成向量组的线性组合.6.证明向量组线性无关.7.证明向量组线性相关.8.已知向量组线性无关,试确定数,使得向量组也线性无关.9．设,且向量组线性无关,证明向量组也线性无关.(提示:利用定义证明10．设是一组n维向量,已知n维单位坐标向量组能由它们线性表示,证明线性无关.11．设是m个互不相同的数,又,证明线性无关.(提示:利用范德蒙行列式、第三节推论1及命题1可证12．设四维向量组A为:,,.(1证明线性无关;(2求向量组A中包含的一个最大无关组.13．作一个秩为4的方阵,它的两个行向量是.14．求下列矩阵的秩及行向量组的一个最大无关组:(1(2解：(315．定参数,使矩阵的秩最小.16．设向量组A:的秩为,向量组B:的秩为,向量组C:,的秩为,证明max.(提示:第一个不等式的证明利用第四节推论2;第二个不等式可由最大无关组的定义证明17.设A,B都是型矩阵,试证:R(A+BR(A+R(B.(提示:设A的列向量组为,B的列向量组为,则A+B的列向量组为,注意到A+B的列向量组可由,线性表示,由第四节推论2可证第六章矩阵特征值与特征向量练习班级：姓名：学号：求矩阵与的特征值与特征向量，并回答以下问题：不同矩阵是否可能有相同特征值，若有相同特征值时，其相应特征向量是否也相同？不同的矩阵可能有相同的特征值，有相同的特征值对应的特征向量不一定相同。设ｎ阶矩阵，试证：．设为ｎ阶方阵，且试证，已知四阶矩阵，的特征值为２，３，４，５，为４阶单位矩阵，求的特征值．为ｎ阶矩阵，其特征值为２，４，…，２n，为n阶单位矩阵，则。．已知矩阵，则的特征值为(c).(A)1,0,1(B)1,1,2(C)-1,1,2(D)-1,1,1以上四个备选答案中，有且仅有一个是正确的;利用特征值的性质选择正确答案.七、求矩阵和的特征值与特征向量，并回答以下问题：⑴与分别可否相似对角化？为什么？⑵相似矩阵有相同特征值，其逆命题是否也成立？八、已知矩阵与矩阵相似，求，？九、设矩阵与相似，且,．⑴求，的值；⑵求可逆矩阵，使．十、用施密特方法，将矩阵的列向量正交规范化．十一、设矩阵的对应于特征值的特征向量为，矩阵的对应于特征值的特征向量为，且试证：向量与正交．十二、设及，求证：分块矩阵．（提示：求分块矩阵，使）．补充练习：⒈填空：已知ｎ阶方阵的特征值为，，…，，其对应特征向量分别为，，…，，则①（为常数）的特征值为对应的特征向量为；②（为正整数）的特征值为，对应的特征向量为；③可逆时，的特征值为，对应的特征向量为；④可逆时，的特征值为，对应的特征向量为；⑤为ｎ阶可逆矩阵，的特征值为，对应的特征向量为；⑥的特征值为．（的特征向量与的特征向量有何关系，参见本章第二次作业第五题）．⒉已知为ｎ阶正交矩阵，证明：为可逆矩阵，且也是正交矩阵.⒊若皆为正交矩阵，证明：仍是正交矩阵．⒋已知两个单位正交向量，试求列向量，使得以为列向量的矩阵为正交矩阵．⒌已知，利用的相似对角化，求（为正整数）．⒍设满足，且．试证：为正交矩阵．第五章矩阵的特征值和特征向量1．教学目的和要求：(1)理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.(2)了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵.(3)了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.2．教学重点：(1)会求矩阵的特征值与特征向量.(2)会将矩阵化为相似对角矩阵.3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵.4．教学内容：本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题.§1矩阵的特征值和特征向量定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程(1)存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量．（1）式也可写成，(2)这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式,(3)即上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．===显然，的特征值就是特征方程的解．特