课时跟踪检测(十三)渐开线与摆线一、选择题1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是()A．πB．2πC．12πD．14π解析：选C根据条件可知，圆的摆线方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3φ－3sinφ，,y＝3－3cosφ))(φ为参数)，把y＝0代入，得φ＝2kπ(k∈Z)，此时x＝6kπ(k∈Z)．2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有()A．①③B．②④C．②③D．①③④解析：选C对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．3．已知一个圆的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosφ，,y＝3sinφ))(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取eq\f(π,2)对应的点A与点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2))之间的距离为()A.eq\f(π,2)－1B.eq\r(2)C.eq\r(10)D.eq\r(\f(3π,2)－1)解析：选C根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3φ－sinφ，,y＝31－cosφ))(φ为参数)，把φ＝eq\f(π,2)代入参数方程中可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))，,y＝3，))即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))，3))，∴|AB|＝eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))－\f(3π,2)))2＋3－22)＝eq\r(10).4.如图ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是()A．3πB．4πC．5πD．6π解析：选C根据渐开线的定义可知，eq\x\to(AE)是半径为1的eq\f(1,4)圆周长，长度为eq\f(π,2)，继续旋转可得eq\x\to(EF)是半径为2的eq\f(1,4)圆周长，长度为π；eq\x\to(FG)是半径为3的eq\f(1,4)圆周长，长度为eq\f(3π,2)；eq\x\to(GH)是半径为4的eq\f(1,4)圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.二、填空题5．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rφ－sinφ，,y＝r1－cosφ))(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换．答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝r1－cosφ，,y＝rφ－sinφ))(φ为参数)6．已知圆的渐开线的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ＋φsinφ，,y＝sinφ－φcosφ))(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是__________，当参数φ＝eq\f(π,4)时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝eq\f(π,4)时对应的坐标只需把φ＝eq\f(π,4)代入曲线的参数方程，得x＝eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2)π,8)，y＝eq\f(\r(2)