PAGEPAGE43.2.1抛物线及其标准方程[A.基础达标]1．已知点P为抛物线y2＝2px上任一点，F为焦点，则以P为圆心，以|PF|为半径的圆与准线l()A．相交B．相切C．相离D．地位由F确定解析：选B.圆心P到准线l的距离等于|PF|，所以相切．2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．12B．8C．6D．4解析：选B.由抛物线定义知：P到焦点的距离等于P到准线的距离，故P到焦点距离＝6－(－2)＝8.3．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是()解析：选D.a2x2＋b2y2＝1其标准方程为eq\f(x2,\f(1,a2))＋eq\f(y2,\f(1,b2))＝1，由于a>b>0，所以eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2)，表示焦点在y轴上的椭圆；ax＋by2＝0其标准方程为y2＝－eq\f(a,b)x，表示焦点在x的负半轴的抛物线．4．一个动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点()A．(0，2)B．(0，－2)C．(2，0)D．(4，0)解析：选C.由抛物线定义知圆心到准线x＋2＝0的距离等于到焦点F(2，0)的距离，所以动圆必过定点(2，0)．5．当a为任意实数时，直线(2a＋3)x＋y－4a＋2＝0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是()A．x2＝32y或y2＝－eq\f(1,2)xB．x2＝－32y或y2＝eq\f(1,2)xC．y2＝32x或x2＝－eq\f(1,2)yD．y2＝－32x或x2＝eq\f(1,2)y解析：选C.该直线可化为(2x－4)a＋(3x＋y＋2)＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－4＝0，,3x＋y＋2＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－8，))故该直线恒过定点P(2，－8)，经验证C符合要求．6．准线方程为x＝－1的抛物线的标准方程为________．解析：由题意可设该抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，其准线为x＝－eq\f(p,2)＝－1，得p＝2.故该抛物线的标准方程为y2＝4x.答案：y2＝4x7．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝－4，则点A的坐标是________．解析：由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，设A的坐标为(eq\f(yeq\o\al(2,0),4)，y0)，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\f(yeq\o\al(2,0),4)，y0)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(1－eq\f(yeq\o\al(2,0),4)，－y0)，由eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝－4得yeq\o\al(4,0)＋12yeq\o\al(2,0)－64＝0，即y0＝±2，所以点A的坐标为(1，2)或(1，－2)．答案：(1，2)或(1，－2)8．设抛物线y2＝2x的准线为l，P为抛物线上的动点，定点A(2，3)，则|AP|与点P到准线l的距离之和的最小值为________．解析：设该抛物线的焦点为F，连接AF交抛物线于点P0，由抛物线定义可知P到准线l的距离等于|PF|，故|AP|与点P到l距离之和＝|AP|＋|PF|≥|AP0|＋|P0F|＝|AF|＝eq\r(（2－\f(1,2)）2＋32)＝eq\f(3\r(5),2).答案：eq\f(3\r(5),2)9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值、抛物线方程及其准线方程．解：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))).由于M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＝6p，,\r(m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3＋\f(p,2)))\s\up12(2))＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝±2\r(6).))所以所求的抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2eq\r(6)