第八章近代平差理论序惯平差也叫逐次相关间接平差，它是将观测值分成两组或多组，按组的顺序分别做相关间接平差，从而使其达到与两期网一起做整体平差同样的结果。分组后可以使每组的法方程阶数降低，减轻计算强度，现在常用于控制网的改扩建或分期布网的平差计算，即观测值可以是不同期的，平差工作可以分期进行。本节的理论公式推导，以分两组为例。设某平差问题，观测向量，现把它分为两组，组内相关，组间互不相关，即：即权阵未知参数的第一次平差值联合第二组误差方程。即：将上式代入（8-1-9）即可求得第二组观测值的整体改正数。那么第一组观测值的第二次改正数如何求呢？我们可以用分别代替（8-1-2)的，即：因为经过第一次平差后，已使单位权中误差估值：，（8-1-19）图8-1④求第一期观测值的第一次改正数写成矩阵形式⑥顾及第一次平差结果，组成法方程⑨计算单位权中误差第一次平差可得：（8-1-29）第一次平差的法方程为：权阵式中第一次平差与上述第二种情况完全相同，其法方程、、权阵、参数的第一次平差值等见（8-1-33）、（8-1-34）、（8-1-35）式，其中的计算见（8-1-42）式。权阵第一次平差的法方程为：未知参数的权阵为而§8-2秩亏自由网平差（8-2-1）当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为u，误差方程为组成法方程在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得的唯一解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。为求得唯一解，还必须增加新的约束条件，来达到求唯一解的目的。秩亏自由网平差就是在满足最小二乘和最小范数的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法。下面将推导自由网平差常用两种解法的有关计算公式。一、直接解法令即：如果有矩阵代入（8-2-8）式，得二、附加条件法（伪观测值法）为叙述方便，我们先给出该限制条件方程，然后再推导平差计算公式，最后证明，在给定的限制条件方程下所求得的解，就是相容方程组的最小范数解。设等价于约束条件的限制条件方程为按照附有条件的间接平差可得法方程（8-2-19）但它又不同于经典的附有条件的间接平差法，其主要表现为：当S阵满足BS=0时，必定有下式成立（证明从略）（8-2-24）由于，存在逆阵，则有考虑到（8-2-26）式，则上式为三、精度评定四、两点说明②该方法的特点就是用求凯利逆替代了求广义逆，因此便于计算和计算机编程，但首要条件是必须知道附加阵S，关于附加阵的确定问题，本教材不准备作详细讨论，下面直接给出常见控制网的附加阵S及其标准化后G的矩阵的具体形式：水准网（设有u个点）式中为第I点的近似坐标元素,在（8-2-36）式中增加一行元素即可得到相应的S阵和G阵。例[8-3]如图8-2水准网，A,B,C点全为待定点，同精度独立高差观测值为，，解：1．直接解法误差方程为由法方程易知未知参数的平差值为2．附加条件法解法一中已求得法方程为的具体形式为：则有所以有§8-3附加系统参数的平差当观测值中含有系统误差时，显然将（8-3-2）式代入（8-3-1）式，即得附加系统参数的平差函数模型为：令如果平差模型中不含有系统误差，即，则有（8-3-12）§8-4方差分量估计为了合理地确定不同类观测值的权，可以根据验前估计权进行预平差，用平差后得到的观测值改正数来估计观测值的方差，根据方差的估计值重新进行定权，以改善第一次平差时权的初始值，再依据重新确定的观测值的权再次进行平差，如此重复，直到不同类观测值的权趋于合理，这种平差方法称为验后方差分量估计。此概念最早由赫尔默特（F.R.Helmert）在1924年提出，所以又称为赫尔默特方差分量估计。一、赫尔默特方差分量估计公式其误差方程为一般情况下，由于第一次给定的权P1、P2是不恰当的，或者说它们对应的单位权方差是不相等的，设为和，则有由数理统计知识可知，若有服从任一分布的q维随机变量,已知其数学期望为,方差阵为，则向量的任一二次型的数学期望可以表达为：前面已经证明，于是有：对上式应用协因数传播律得顾及矩阵迹的性质，上式可写为也改用估值符号表示，整理顺序式中去掉期望符号，相应的单位权方差也改为用估值符号，则有二、计算步骤§8-5习题8.2在图8.1的水准网中，已知A，B，C点的高程为m，m，m，P为待定点，各路线观测高差为：取其近似值为，已知单位权中误差为，权阵，试按序惯平差法：⑶求第一次改正数；第二次改正数；以及改正数V与高差平差值；⑷求平差后点高程平差值的协因数阵及其中误差。8.5某水准网如图8.5所示，已知点A，B的高程分别为m，m，为确定待定点P点的高程，测得高差观测值为：8.6在如图8.6的水准网中，为观测值，其协因数阵，设点高程平差值为未知参数。其误差方程为：各线路长度均为1km，各点的近似高程为：试按直接解