第一章行列式目的要求:1.了解排列与逆序的定义,会求排列的逆序数2.掌握二、三阶行列式的对角线展开法3.了解n阶行列式的定义注意：n阶行列式的展开式的特点定义1.1：由n个不同元素1,2……n组成的有序数组称为这n个元素的全排列,也称n元排列。例如:54123是一个五元排列例如:13x52是一个五元排列，例如:3元排列有一共有6个。注意:n元排列的所有排列种数,共有n!个.事实上,从n个元素中任取一个放在第一个位置上,有n种取法.又从剩下的n-1个元素中任取一个放在第二个位置上,有n-1种取法……直到最后只剩下一个元素放在第n个位置上.只有1种取法,于是n元排列有n·(n-1)·(n-2)……3·2·1=n!上例三元排列中，只有123的数字是从小到大按自然数的顺序,其他排列中都有大的数排列在小的数之前,因此,引入逆序和逆序数的概念定义1.2在一个排列中,如一个较大的数排在一个较小的数前面,就称这两个数构成一个逆序.一个n元排列中所有逆序的总数,称为这个排列的逆序数.记作为偶数时，称偶排列为奇数时，称为奇排列公式=kn+kn-1+…+k2其中kn是第k个数前面比它大的数的个数。注意：由定义可知，一个n元排列的逆序数的计算方法：先算出jn前面比jn大的数kn。然后数出jn-1前面比jn-1大的数kn-1……。从后向前，用类似方法计算下去，直到算出j2前面比j2大的数K2,于是得到排列的逆序数为例1：计算下列排列的逆序数。并判断其奇偶性(1)2431(2)54231(3)n(n-1)…321(4)135…(2n-1)246…2n例2：求i,j。使排列3972i15j4是偶排列解:由定义:i,j只能取6,8两个数当i=6j=8τ(397261584)=20∴该排列为偶排列例3：已知:135…(2n-1)(2n)(2n-2)…42求该排列的逆序数定义1.3把一个排列中某两个数的位置互换，其余数的位置不动，这种变换称一个对换。定理：经过一次对换，排列的奇偶性改变证明：1°先证相邻两数对换该排列…ij…→…ji…当i<j时，i的逆序增加1，而j的逆序不变当i>j时，j的逆序减少1，而i的逆序不变∴改变了奇偶性2°再证一般性该排列…ik1k2…kmj…一共经过2m+1次相邻对换，也改变了奇偶性。例4若排列j1j2…jn的逆序数τ(j1j2…jn)=K证明：§1.2n阶行列式(a11a22－a12a21)x1=b1a22－b2a12当a11a22-a12a21≠0唯一解如当1×4-2×2=0实际上只有一个有效方程.此时有无穷多解.又如当1×4-2×2=0但两方程矛盾∴无解显然,a11a22－a12a21≠0是方程组是否有解起了关键作用.定义1.4为二阶行列式,aij(i,j=1,2)为元素i为行标,j为列标对角线法则:主对角元乘积减去次对角元乘积.因此,当a11a22－a12a21≠0时同样可定义由9个元素排成的3行3列构成的行列式为3阶行列式（展开式）注意：1.对角线法则只适用二阶、三阶行列式。2.展开式的每一项都是由不同的行，不同的列的元素相乘而得的。3.符号规律：主对角线方向为正，次对角线方向为负。换个说法，当行标按自然数排列排好后，列标为偶排列取正号，列标为奇排列取负号。故展开式可表为：例5计算例6解方程二、n阶行列式定义1.5：由n2个数aij(i,j=1,2…n)组成的符号特点：1.n=1，|a11|=a11为一阶行列式4.行标按自然排列，符号由列标排列的奇偶性决定5.列标按自然排列,符号由行标排列的奇偶性决定.例61.下列各项中,为五阶行列式带正号的项:(A)a13a44a32a41a55(B)a21a32a41a15a54(C)a31a25a43a14a52(D)a15a31a22a44a53解:由定义可知(A)、(B)不是五阶行列式的项(C)、(D)是五阶行列式的项而(C)可写成a14a25a31a43a52(行标按自然排列)τ(45132)=7(C)为带负号的项(D)可写成a15a22a31a44a53(行标按自然排列)τ(52143)=2+1+2+1=6∴选(D)例7下列各项，哪些是五阶行列式解：由定义除了a11a22a33…ann这一项外。其余各项均为0∴D=(-1)τ(123…n)a11a22…ann=a11a22…ann结论：下三角行列式等于主对角元素乘积例9几个特殊的n阶行列式1.上(下)三角行列式2.主对角行列式3.次(副)对角行列式例10用定义计算行列式例11(1)一个n阶行列式中(展开式)带正