教学案例实践与探索———平面图形镶嵌的问题绥滨县第二中学：蒋海峰实践与探索———平面图形镶嵌的问题绥滨县第二中学：蒋海峰一、设计背景数学的价值在于应用，而传统数学课程不太注意与学生熟悉的现实生活的联系，对熟悉应用的处理总是留有人为编造的痕迹。“实践与探索”是义务教育课程教材数学中一个全新的内容，而这一内容正式沟通了生活中的数学与课堂上的数学的联系，了解到学生中大多同学爱看漂亮图案，就设计了这样一节课。旨在让学生通过感兴趣的学习内容认识到数学就在身边，数学源于生活，用数学知识可以解决实际问题。二、实施过程在展示一组蜂房、地砖图案、马赛克拼图，感受数学的拼装、设计美，并指出这些图形由一些基本的几何图形组成后。回顾了地砖铺设原理：当几个拼在一起的角的和为360°，且对接在一起的边长相等时，相应形状的地砖就可以铺在一起。明确在地砖的拼接过程中，关键是角度能否组成360°。展示用同一模型的正方形、正六边形铺设的地板图形，问题一：能否用其它四边形来拼地板？其它六边形呢？有没有其它任意多边形可用来拼地板的？为什么？在回答为什么不能用其它六边形来拼地板时，学生中出现了下面的讲法：生1：其它六边形就不可以，因为六边形的内角和不等于360°。生2：不对吧，正六边形的内角和也不是360°，但它却能够用来拼地板。第一个学生像一个做错了事的孩子，倦在座位上不敢响了。同学们也在窃窃私语，不知道这个问题的矛盾出在哪里……大家非常尴尬的你看看我，我看看你，我知道他们在等着我告诉他们参考结果，但我却说：对于这两位同学的不同意见，大家是否帮他们一起出出主意？各小组经过一阵热烈的讨论后，终于认可了一个小组代表的发言：只要六边形的某三个内角和等于360°，就可以用相同的三块多边形，在一个点上拼出360°角，剩余三个角用同样的方法处理。但显然不是任意的六边形都可以用来拼地板。问题二：能用正五边形拼地板吗？其它正多边形呢？为什么？有意思的是学生这样回答我：“不可以用正五边形，因为它的角度和与360°没有任何关系。”“什么意思？”“你看，四边形的内角和等于360°；六边形的内角和等于720°，是360°的2倍。”“这么说只要内角和等于360°的倍数的多边形，就可以用来铺地板喽？大家想一想，对吗？为什么？”暗示学生利用手上的多边形模型实验，实验后才发现即使正多边形的内角和是360°的倍数，也不一定能用这一种正多边形单独的来铺地板，如正八边形。在备课时，我以为学生对《瓷砖的铺设》这一节课的内容掌握很理想，现在才发现不全是那么回事，在回顾了铺地板的关键是连接点上铺出周角360°以后，特别强调应是周角，与内角和是不是360°的倍数无关。学生这才发现在回答第一个问题时，也犯了类似的错误。接下来他们很快发现：当一个正多边形一个内角度数的整数倍等于360°时，就可以用这种正多边形单独拼地板。接着我进一步要求：能否用代数的形式把这种思想表达出来？比如方程、公式、代数式等等。“可以用360÷n来表示，n表示整数，只要结果也是整数就可以。”“不对，n应当表示多边形每一内角的度数。”“n用x更好，因为n常用来表示多边形的边数”……经过相互补充以后，认为用方程的形式固定较好：ax=360，a表示所需某一正多边形的个数，x代表该正多边形的每一内角的度数。展示用两种正多边形材料铺地的图案：四个正三角形与一个正六边形，一个正方形与两个正八边形。问题三：请你画一个用两种不同正多边形材料铺地的草图（启发学生用手上的材料进行拼装）。分组进行，并及时总结组合的种类，小结组合的规律。学生通过拼装，发现有多种组合：两个正三角形与两个正六边形，三个正三角形与两个正方形，等等。规律：在每一结合点处，两种正多边形的各角之和等于360°，即若两种正多形的每一内角度数x、y满足ax+by=360（其中a、b是整数），则可用来拼地板。三种及三种以上的正多边形变亦如此。有了规律，学生兴致勃勃的设计了用三种正多边形拼装的地板模型。并欣赏优美平面铺嵌图案（埃舍尔嵌合图片）与曲面铺嵌（旋转的足球），在学生的兴奋与惊讶中，结束了我们这有意义的一课。三、教学反思1、挖掘生活中的数学，通过研究平面图形镶嵌的问题，使学生进一步体验数学与日常生活的密切联系，初步培养学生用数学的意识和发展学生解决问题的能力，感受数学与生活的联系。2、在教学中，学生要学会把实际问题抽象成数学问题，逐渐培养他们分析和解决问题的能力，从而树立起数学意识。样学有价值的数学。长期以来，在部分学生的脑海里，数学始终是抽象、乏味的、对数学知识在实际生活中的应用感到茫然，而在这节课上，学生用学过的多边形的知识探索图形镶嵌的秘密，能充分感感受到数学的有用性、实用性。3