2001年第23期数学通讯31用二项式定理证明不等式赵忠彦(民勤县第一中学,甘肃733300)中图分类号:O122.3文献标识码:A文章编号:0488-7395(2001)23-0013-02二项式定理应用很广泛,其中在证明幂不等式13-n-1,和组合不等式方面具有独特的作用,下面分类举例2说明:1n1∴2≤(1+)≤3-n-1.1利用二项展开式进行放缩n2x2利用二项式定理转化组合数2-112例1已知函数f(x)=2.证明:对于任意例证明对任意∈都有2+14n>1,nN,Cn+Cnn-1n3n不小于3的自然数n,都有f(n)>.+Cn+⋯+Cn≥n·22.n+1证由二项式定理知:n2证当n≥3时,f(n)>Z1->12n=(1+1)n=C0+C1+C2+C3+⋯+Cn得n+12n+1nnnnn12nnCn+Cn+⋯+Cn=2-1.1n-Z2>2n+1,nn+1012n-12-1nnn012n-1又2+2+2+⋯+2==2-1.∵2=(1+1)=Cn+Cn+Cn+⋯+Cn+2-1n01n-11根据An≥Gn,有Cn>Cn+Cn+Cn=1+n+Cn=2n+1,012n-1n2+2+2+⋯+2n012n-1∴f(n)>(n≥3)成立.≥2·2·2·⋯·2n+1nnnnn(n-1)n-1nkk2-1注对于(1+x)=6Cnx常利用整体大于所以≥22=22.k=0nn-1它的部分产生不等关系.n∴2-1>n·22.nn-1例2求证C2n-1<4.n-1123n2n-1即Cn+Cn+Cn+⋯+Cn≥n·22.n-112n-11k证4=·2=6C2n-1n22k=0注由2-1的不同表达方式沟通了组合数之n-1kn-1n和与幂方和之间的联系,配以不等式证明的方法便=6C2n-1>C2n-1=C2n-1.k=0可完成证明.注由于二项展开式中含有组合数k故可构Cn,3利用二项式定理分解幂式造二项式证明之.例5求证:对任意的正整数n,不等式(2n+1n1)n≥()n()n成立例3求证:2≤(1+)≤3-n-1(n∈N).12n+2n-1.n2nnn-11证(2n+1)-(2n-1)=2[(2n)Cn+1n1121n-33n-11n证(1+)=1+Cn+Cn2+⋯()⋯≥()()nnn2nCn+]22nCn=2n.注由二项展开式化幂方为积和便于沟通联n1,+Cnnn系.21例6(2001年高考题)已知i,m,n是正整=1+1+Cn2+⋯≥2.n数,且1<i≤m<n.1n2131n1(Ⅰ)证明iiii又(1+)=2+Cn+Cn+⋯+Cn:nPm<mPn;nn2n3nn(Ⅱ)证明:(1+m)n>(1+n)m.111121=2+(1-)+(1-)(1-)+⋯+(1证(Ⅰ)对于≤有2!n3!nnn!1<im,i12n-111Pm=m·⋯·(m-i+1),-)·(1-)⋯(1-)≤2+++⋯+nnn2!3!Pimm·m-1·⋯·m-i+111i=,(1-)mmmm111122n-1≤2+++⋯+=2+=n!22n-11221-2收稿日期:2001-09-20作者简介:赵忠彦(1966—),男,甘肃民勤人,甘肃民勤县第一中学一级教师.41数学通讯2001年第23期简易逻辑中的错解浅析刘洪(怀化铁路第一中学,湖南418000)中图分类号:G634-44文献标识码:A文章编号:0488-7395(2001)23-0014-01在简易逻辑的教学中,常因为对逻辑联结词的{x|x>2或x<-1},从而该命题为真.使用不当而导致一些错解.本文将就一些常见的错分析上述解法显然是错误的,因为p为假,q解进行分析,供读者参考.为假,则p或q应为假:例1p:9的平方根是3.写出非p并判断正解p或q:不等式x2-x-2>0的解集是真假.{x|x>2}或不等式x2-x-2>0的解集是{x|x<错解有人认为非p是“9的平方根不是3”.并-1}.从而该命题为假命题.认为“9的平方根不是3”是一个假命题,从而出现p例3p:集合{x|x<2}是不等式x2-x-2<与非p均是假命题.0的解集.q:集合{x|x>-1}是不等式x2-x-2上述解法中存在两个问题.①非p的写法不正<0的解集.写出“p且q”的形式,并判断该命题的确.一个命题的否定并非是在命题的结论前添加否真假.定词就能完成的.正如文[1]所指出的那样,当命题错解p且q:集合{x|x>-1且x<2}是不中含有全称量词或存在量词时,命题的否定应对量等式x2-x-2<0的解集.从而该命题为真.词作适当的