http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网6.2算术平均数几何平均数一、明确复习目标1.掌握两个正数的算术平均数不小于几何平均数的定理;2.会用平均值定理求最大或最小值;3.能运用均值定理来揭示数量间或实际问题中的不等关系.二．建构知识网络1．基本不等式（1）（2），则(3),(拓展内容)2均值不等式:两个正数的均值不等式：三个正数的均值不等是：n个正数的均值不等式：——两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,这是一个非常重要的不等式,许多题目可以从中找到解题途径．3．最值定理:设（1）如果x,y是正数,且积,则xy时,（2）如果x,y是正数和,则x=y时,运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。此外还要掌握如下常用不等式;，若a>b>0,m>0,则；若a,b同号且a>b则,等。三、双基题目练练手1.（2006浙江）“a>b>0”是”ab<”的()（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件2．(2005福建)设的最小值是（）A．B．C．－3D．3.（2006重庆）若且，则的最小值为()（A）（B）（C）（D）4.(2006陕西8)已知不等式(x+y)(eq\f(1,x)+eq\f(a,y))≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A2B4C6D85.若a是正实数，2a2+3b2=10，则的最大值等于________。6.(2006春上海)同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高.这两个事实可以用数学言语描述为：若无限数列满足，则___________________和结论用数学式子表示）.简答:1-4.ACDB;3.(2a+b+c)2=4a2+b2+c2+4ab+4ac+2bc≥4a2+2bc+4ab+4ac+2bc=4(a2+ab+bc+ac)=4(4-2)∴2a+b+c≥2－1.当且仅当b=c时取等号.4.令5.;6.和四、经典例题做一做【例1】(1)已知a，b为正常数，x，y为正实数，且，求x+y的最小值。(2)若a>b>0,求的最小值(3)求的最大值解(1)法一：直接利用基本不等式：≥当且仅当，即时等号成立说明：为了利用均值不等式，本题利用了“1”的逆代换。法二：消元化为一元函数由得∵x>0，y>0，a>0∴由>0得y-b>0∴x+y≥当且仅当，即时，等号成立法三：三角代换.令，，∈（0，）∴，∴x+y=≥当且仅当时，等号成立(2)分析:的分母(a—b)b,而(a—b)+b=a,故问题突破口已显然!也能够逐渐进行：先对b求最小值，然后在对a求最小值解法一:=[(a—b)+b]2+≥[2]2+=4(a—b)b+≥16当且仅当b=(a—b)且(a—b)b=2,即a=2b=2时取等号,故的最小值为16解法二:当且仅当b=(a—b)且,即a=2b=2时取等号,故的最小值为16(3)(若由无解“=”不成立)令,可以证明y(u)在递减∴u=2,即x=0时,ymax=3提炼方法：1.(1)题法一将“1”利用已知回代,充分利用了倒数关系,巧妙灵活;2.法二,三是常用的两种消元方法,即代数消元和三角换元,要熟练掌握.3.在运用均值不等式求最值时,必须保证“一正,二定,三等”.凑出定值是关键!“=”成立必须保证,若有几步放缩,只需每步取等号的条件相同即可.【例2】已知ab+a+2b=30,(a>0,b>0),求证:ab≤18.证明:法1:由已知,(a+2)(b+1)=32,ab=30-(a+2b)=34-[(a+2)+2(b+1)]法2:由已知,∴ab=30-(a+2b)≤18法3:由已知得∴【例3】已知:a>b>c>d,求证:.证明:∵a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d),题中出现了“和”与“倒数和”∴利用调和平均数与算术平均数的关系得:【例4】(2005北京)经过长时间观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为：．(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/小时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？解：（Ⅰ）依题意，（Ⅱ）由条件得