课时分层作业(六)数列(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．下面有四个结论，其中叙述正确的有()①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④每个数列都有通项公式．A．①②B．②③C．③④D．①④B[①数列的通项公式不唯一，错误，②正确，③正确，④数列不一定有通项公式．]2．数列的通项公式为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＋1，n为奇数，,2n－2，n为偶数，))则a2·a3等于()【导学号：12232108】A．70B．28C．20D．8C[由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2·a3＝20.]3．若数列{an}的前4项依次是2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是()A．an＝1＋(－1)n＋1B．an＝1－cosnπC．an＝2sin2eq\f(nπ,2)D．an＝1＋(－1)n－1＋(n－1)(n－2)D[将前4项代入选项检验可得D不符合．]4．已知数列{an}的通项公式是an＝eq\f(n－1,n＋1)，那么这个数列是()【导学号：12232109】A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列A[an＝eq\f(n－1,n＋1)＝1－eq\f(2,n＋1)当n≥2时，an－an－1＝1－eq\f(2,n＋1)－(1－eq\f(2,n))＝eq\f(2,n)－eq\f(2,n＋1)＝eq\f(2,n(n＋1))>0，所以{an}是递增数列．]5．观察数列2,5,10,17，x,37，…的特点，则x等于()A．24B．25C．26D．27C[将数列变形为12＋1,22＋1,32＋1,42＋1，…，于是可得已知数列的一个通项公式为an＝n2＋1(n∈N*)，当n＝5时，a5＝52＋1＝26，故x＝26.]二、填空题6．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，eq\r(3)，eq\r(5)，________，3，eq\r(11)，….eq\r(7)[由于数列的前几项的根号下的数是由小到大的奇数，所以需要填空的数为eq\r(7).]7．已知数列{an}，an＝an＋2m(a<0，n∈N＋)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.【导学号：12232110】2[eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝a＋2m＝2，,a2＝a2＋2m＝4，))∴a2－a＝2，∴a＝2或－1，又a<0，∴a＝－1.又a＋2m＝2，∴m＝eq\f(3,2)，∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.]8．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3为此数列的第________项．2或6[令an＝n2－8n＋15＝3，即n2－8n＋12＝0，解得n＝2或6.]三、解答题9．写出下面各数列的一个通项公式．(1)eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(7,8)，eq\f(15,16)，eq\f(31,32)，…；(2)－1，eq\f(3,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(3,4)，－eq\f(1,5)，eq\f(3,6)，…；(3)6,66,666,6666，….【导学号：12232111】[解](1)这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为21,22,23,24,25，所以它的一个通项公式为an＝eq\f(2n－1,2n).(2)这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为1,2,3,4,5,6，分子依次为1,3,1,3,1,3，所以它的一个通项公式为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,n)，n＝2k－1(k∈N*),\f(3,n)，n＝2k(k∈N*)))(3)这个数列的前4项可写为eq\f(6,9)(10－1)，eq\f(6,9)(102－1)，eq\f(6,9)(103－1)，eq\f(6,9)(104－1)，所以它的一个通项公式为an＝eq\f(6,9)(10n－1)．10．已知数列{an}的通项公式为an＝30＋n－n2，(1)－60是否为这个数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，请说明理由.【导学号：12232112】(2)当n分别为何值时，an＝0，an>0.(3)当n为何值时，an取得最大值？并求出最大值．[解](1)令