概率论复习题一、选择题1）3封信投4个邮筒：所有的情况：每封信可以有4种可能，即4×4×4=64有3个邮筒各有一封信的情况：第一封信有4种可能，第二封有3种（有信的那个不能投），第三封有2种，即4×3×2=24P=2464=382）三次独立试验，至少成功一次的概率为1927，则每次成功的概率：P(至少一次成功)=1–P(三次都不成功)=1927P(三次都不成功)=1–1927=827独立试验→P(三次都不成功)=P(不成功)·P(不成功)·P(不成功)即，P(不成功)=3827=23P(成功)=1–P(不成功)=1–23=133）P(A)=0.5，P(B)=0.4，P(A|B)=0.6，求P(A|A∪B)P(B)=1–P(B)=1–0.4=0.6P(A|B)=P(AB)P(B)=0.6，∴P(AB)=P(A|B)·P(B)=0.6×0.6=0.36P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.5+0.6–0.36=0.74P(A(A∪B))=P(A)P(A|A∪B)=P(A(A∪B))P(A∪B)=P(A)P(A∪B)=0.50.74=0.6764）彩票中奖率0.1，买了10张，至少一张中奖的概率：P(至少一张中奖)=1–P(一张都不中奖)=1–P(不中奖)10=1–(0.9)10=0.65135）X~U(a,b)，D(X)=(b–a)212（公式）6）X~N(3,4)，且c满足P(x>c)=P(x≤c)：X~N(3,4)→函数图象关于x=3对称，满足P(x>(3+a))=P(x≤(3–a))，a为常数∵P(x>c)=P(x≤c)，∴3+a=c3–a=c即c=37）X,Y满足D(X+Y)=D(X–Y)的充要条件推导过程略（参考笔记）→E(XY)=E(X)E(Y)→不相关。注意：X,Y不相关，表示X,Y不是线性关系，即Y≠aX+bX,Y相互独立肯定能推出不相关，但X,Y不相关并不表示相互独立，如Y=X2，不是线性关系，不相关；但X,Y显然不独立。8）随机变量A,B满足P(A|B)=1：P(A|B)=P(AB)P(B)=1，即P(AB)=P(B)→B⊆A（A包含B）4个选项中，只有“A为必然事件”符合B⊆A9）独立射击直到射中为止，每次射击中靶的概率为p求射击次数X的期望与方差不妨设q为未射中靶的概率，p+q=1独立射击直到射中为止表示除了最后一次，之前的均未射中。当X=k时，P(X=k)=pqk-1X的分布列如下表所示：X123…nPppqpq2…pqn–1其中，p+pq+pq2+…+pqn–1=p(1+q+q2+…+qn–1)=p(1–qn)1–q=1–qn=1即qn=0E(X)=p+2pq+3pq2+...+(n–1)pqn–2+npqn–1(1)qE(X)=pq+2pq2+3pq3+...+(n–1)pqn–1+npqn(2)(1)–(2)：(1–q)E(X)=(p+pq+pq2+…+pqn–1)–npqn=1–npqn∵qn=0∴npqn=0E(X)=11–q=1pD(X)=E(X2)–(E(X))2E(X2)=p+22pq+32pq2+...+(n–1)2pqn–2+n2pqn–1(1)qE(X2)=pq+22pq2+32pq3+...+(n–1)2pqn–1+n2pqn(2)(1)–(2)：(1–q)E(X2)=p+(22–12)pq+(32–22)pq2+…+(n2–(n–1)2)pqn–1–n2pqn∵qn=0∴n2pqn=0，即(1–q)E(X2)=p+(22–12)pq+(32–22)pq2+…+(n2–(n–1)2)pqn–1=p+(2+1)(2–1)pq+(3+2)(3–2)pq2+…+(n+n–1)(n–(n–1))pqn-1=p+(2+1)pq+(3+2)pq2+…+(2n–1)pqn-1=2p+2·2pq+2·3pq2+…+2npqn–1–(p+pq+pq2+…+pqn–1)=2(p+2pq+3pq2+…+npqn–1)–(p+pq+pq2+…+pqn–1)∵p+2pq+3pq2+…+npqn–1=E(X)=1pp+pq+pq2+…+pqn–1=1∴(1–q)E(X2)=2·1p–1=2–ppE(X2)=2–pp(1–q)=2–pp2∴D(X)=E(X2)–(E(X))2=2–pp2–(1p)2=1–pp210）X~N(0,1)，Y~N(1,2)，X,Y相互独立，Z=Y–2X，求Z~N(??)E(X)=0，D(X)=1，E(Y)=1，D(Y)=2E(Z)=E(Y–2X)=E(Y)–2E(X)=1–2×0=1D(Z)=D(Y–2X)=D(Y)+4D(X)=2+4×1=6∴Z~N(1,6)11）7台电视机，2台为次品，从中随机抽取3台，X为其中的次品数。