7.3基本不等式及其应用应用篇知行合一应用基本不等式在实际问题中的应用1.(2022届四川期中,18实际生活)如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园,设菜园的长为xm,宽为ym.(1)若菜园面积为72m2,则x,y为何值时,可使所用篱笆总长最小?(2)若使用的篱笆总长度为30m,求1x+2y的最小值.解析(1)由已知可得xy=72,篱笆总长为(x+2y)m.又∵x+2y≥22xy=24,当且仅当x=2y,即x=12,y=6时等号成立,∴菜园的长为12m,宽为6m时,可使所用篱笆总长最小.(2)由已知得x+2y=30.又x>0,y>0,∴1x+2y·(x+2y)=5+2yx+2xy≥5+22yx·2xy=9,当且仅当x=y,即x=10,y=10时等号成立.∴1x+2y≥310.即1x+2y的最小值为310.2.(2022届河南调研,19生产实践)某厂家拟举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(等于该厂家的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足关系式x=2.5-km+1(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量是1.5万件.已知生产该产品的固定年投入为10万元,每生产1万件该产品需要再投入25万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将该产品的年利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数;(2)该厂家年利润的最大值为多少?解析(1)由题意可知当m=0时,x=1.5.由1.5=2.5-k1,得k=1,所以x=2.5-1m+1.因为每件产品的销售价格为2×10+25xx元,所以y=2x·10+25xx-10-25x-m=25x+10-m=1452-25m+1-m,即y关于m的函数表达式为y=1452-25m+1-m,m≥0.(2)因为m≥0,所以25m+1+m+1≥225m+1×(m+1)=10,即25m+1+m≥9,当且仅当25m+1=m+1,即m=4时等号成立,所以y≤1452-9=63.5,所以ymax=63.5.故当该厂家投入的年促销费用为4万元时,年利润最大,且最大值为63.5万元.