第22讲任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．分类：按旋转方向，角可以分成三类：正角、负角和零角．(2)象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．(3)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．2．弧度制的相关概念(1)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．(2)弧度制：①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度．如图，在单位圆O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))的长等于1，∠AOB就是1弧度的角．(3)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad，1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°．(4)扇形的弧长公式：l＝α·r，扇形的面积公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)α·r2.其中r是半径，α(0＜α＜2π)为弧所对圆心角．3．三角函数的概念三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα考点1角的概念与表示[名师点睛](1)表示区间角的三个步骤①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°；③最后令起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角的集合．(2)象限角的两种判断方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（）A．第一象限角都是锐角B．三角形的内角必是第一､二象限的C．不相等的角终边一定不相同D．不论是用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关2．（2022·全国·高三专题练习）与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A．，B．，C．，D．，3．（2022·全国·高三专题练习）角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（）A．B．C．D．2．（2022·浙江·高三专题练习）若，则的终边在（）A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限3．（多选）（2022·江苏·高三专题练习）下列与角的终边不相同的角是（）A．B．2kπ－(k∈Z)C．2kπ＋(k∈Z)D．(2k＋1)π＋(k∈Z)4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）如果角与角的终边相同，角与的终边相同，那么的可能值为（）A．B．C．D．5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（）A．B．C．D．6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）如果是第四象限角，那么可能是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角考点2弧度制及其应用[名师点睛]应用弧度制解决问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．[典例]1．（2022·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．2．（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC的面积