巧用圆的平面几何性质处理解几问题义马市第二高级中学张海青“圆”是一个特殊的图形，它有许多重要的性质。在解析几何中，涉及到直线和圆的有关问题时，若能抓住题设中图形特征和数量关系，充分利用平面几何中圆的有关性质，常常可以得到简捷而巧妙的解法。今举以下几例来说明。1。巧用“垂径定理”例1已知A（3，0）是圆x2+y2=25内的一个定点，以A为直角顶点作直角三角形ABC，且点B、C在圆上，试求BC中点M的轨迹方程。分析：B、C都为圆上的动点，若设出B、C的坐标，引进角参数，将导致繁复的运算。如果注意到由“垂径定理”知OM⊥BC（O为原点），那么再结合∠CAB=900，|AM|=|BM|=|CM|=|BC|，即可迅速解题。解：设M(x,y),连结OC，OM，MA，则由“垂径定理”知，∵M为BC的中点∴OM⊥BC∴|OM|2+|MC|2=|OC|2∵在直角三角形ABC中，|AM|=|BM|=|CM|=|BC|∴|OM|2+|AM|2=|OC|2即x2+y2+(x-3)2+y2=25（图1）∴M点的轨迹方程为x2+y2-3x-8=0。2。巧用“切割线长定理”例2已知直线y=mx(m∈R)与圆C：x2+y2-6x+5=0相交于两点P、Q，则=_______________________。分析：将直线方程代入到圆方程(x-3)2+y2=4中，进行消元，利用韦达定理解题，运算较繁。注意到向量与方向相同，用“切割线长定理”来解题，可得以下两种简解。解法一：过原点O作圆的切线，设切点为M、N，则由“切割线长定理”知，|OP|•|OQ|=|OM|2=|OC|2-4=5∵向量与方向相同,∴=|OP|•|OQ|=5。解法二：圆C与x轴有两个交点A（1，0）、B（5，0）∵向量与方向相同,∴由“切割线长定理”知，=|OP|•|OQ|=|OA|•|OB|=5。3。巧用“相交弦定理”例3已知f(x)=(x+2002)(x-2003)图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于一点C，过A、B、C三点作一圆，则该圆与y轴的另一个交点D的坐标为_____________。分析：若写出圆的方程再求点D的坐标，将会导致繁复的运算。注意到A、B两点的指标分别为（-2002，0）、（2003，0），而点C的坐标为（0，-2002•2003），根据“相交弦定理”可得，|OA|•|OB|=|OC|•|OD|，所以|OD|=1，从而D（0，1）。例4过原点O且方向向量为（m，1）的直线L与圆C：(x-1)2+y2=4相交于两点P、Q，则=________________________。分析：圆C与x轴交于两点A（-1，0）、B（3，0）。利用“相交弦定理”得|OA|•|OB|=|OP|•|OQ|，因而|OP|•|OQ|=3。注意到向量与方向相反，则=-|OP|•|OQ|=-3。4。巧用圆心角、圆周角等的性质例5设直线L：3x+4y+m=0与圆C1：x2+y2+x-2y=0相交于P、Q两点，则当m为何值时，OP⊥OQ？解：如图2，因圆C1：x2+y2+x-2y=0过原点O，则∠POQ是圆C1的圆周角，且为直角。根据“圆中900的圆周角所对的弦是直径”可知PQ为圆C1的直径，即直线3x+4y+m=0过圆心C1（，1），代入直线L方程得，，∴。（图2）例6椭圆的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是____________。解：以F1F2为直径作圆x2+y2=5，与椭圆联立，解得两曲线交点的横坐标分别为和。根据“圆中同一条弦所对的圆周角小于它所对的圆内角”这一性质知，点P在椭圆的AB或CD弧线（如图3，在辅助圆内）上时，∠F1PF2为钝角，故点P横坐标的取值范围是即为结果。（图3）例7如图2，平面直角坐标系中，给定y轴正半轴上两点A（0，a）,B(0,b)(a>b>0)，试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值。解：设C是x轴正半轴上一点，在⊿ABC中，由正弦定理，有sin∠ACB=,其中R是⊿ABC的外接圆的半径。可见，当R取最小值时，∠ACB取得最大值。在过A、B两定点且与x轴正向有交点C的诸圆中，当且仅当点C是与x轴的切点时，半径最小。故切点C即为所求。由切割线定理，得OC2=OA•OB=ab∴OC=x=,即点C的坐标为（，0）时，∠ACB取得最大值。（图4）由以上几例可以看出，在解决与圆有关的问题时，只要充分挖掘圆的几何性质，再将几何条件代数化，既可以迅速获得解题途径，又可以减少解析几何的运算量。