2015中考数学专题知识突破专题二新定义型问题一、中考专题诠释所谓“新定义”型问题,主要就是指在问题中定义了中学数学中没有学过得一些概念、新运算、新符号,要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新定义进行运算、推理、迁移得一种题型、“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题得新亮点、在复习中应重视学生应用新得知识解决问题得能力二、解题策略与解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点:一就是掌握问题原型得特点及其问题解决得思想方法;二就是根据问题情景得变化,通过认真思考,合理进行思想方法得迁移.三、中考典例剖析考点一:规律题型中得新定义例1(2013•湛江)阅读下面得材料,先完成阅读填空,再按要求答题:sin30°=,cos30°=,则sin230°+cos230°=1;①sin45°=,cos45°=,则sin245°+cos245°=1;②sin60°=,cos60°=,则sin260°+cos260°=1.③…观察上述等式,猜想:对任意锐角A,都有sin2A+cos2A=1.④(1)如图,在锐角三角形ABC中,利用三角函数得定义及勾股定理对∠A证明您得猜想;(2)已知:∠A为锐角(cosA＞0)且sinA=,求cosA.思路分析:①②③将特殊角得三角函数值代入计算即可求出其值;④由前面①②③得结论,即可猜想出:对任意锐角A,都有sin2A+cos2A=1;(1)如图,过点B作BD⊥AC于D,则∠ADB=90°.利用锐角三角函数得定义得出sinA=,cosA=,则sin2A+cos2A=,再根据勾股定理得到BD2+AD2=AB2,从而证明sin2A+cos2A=1;(2)利用关系式sin2A+cos2A=1,结合已知条件cosA＞0且sinA=,进行求解.解:∵sin30°=,cos30°=,∴sin230°+cos230°=()2+()2=+=1;①∵sin45°=,cos45°=,∴sin245°+cos245°=()2+()2=+=1;②∵sin60°=,cos60°=,∴sin260°+cos260°=()2+()2=+=1.③观察上述等式,猜想:对任意锐角A,都有sin2A+cos2A=1.④(1)如图,过点B作BD⊥AC于D,则∠ADB=90°.∵sinA=,cosA=,∴sin2A+cos2A=()2+()2=,∵∠ADB=90°,∴BD2+AD2=AB2,∴sin2A+cos2A=1.(2)∵sinA=,sin2A+cos2A=1,∠A为锐角,∴cosA=.点评:本题考查了同角三角函数得关系,勾股定理,锐角三角函数得定义,比较简单.对应训练1.(2013•绵阳)我们知道,三角形得三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形得重心.重心有很多美妙得性质,如关于线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中得若干问题.请您利用重心得概念完成如下问题:(1)若O就是△ABC得重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明:;(2)若AD就是△ABC得一条中线(如图2),O就是AD上一点,且满足,试判断O就是△ABC得重心吗？如果就是,请证明;如果不就是,请说明理由;(3)若O就是△ABC得重心,过O得一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与△ABC得顶点重合)(如图3),S四边形BCHG,S△AGH分别表示四边形BCHG与△AGH得面积,试探究得最大值.2、(1)证明:如答图1所示,连接CO并延长,交AB于点E.∵点O就是△ABC得重心,∴CE就是中线,点E就是AB得中点.∴DE就是中位线,∴DE∥AC,且DE=AC.∵DE∥AC,∴△AOC∽△DOE,∴=2,∵AD=AO+OD,∴=.(2)答:点O就是△ABC得重心.证明:如答图2,作△ABC得中线CE,与AD交于点Q,则点Q为△ABC得重心.由(1)可知,=,而=,∴点Q与点O重合(就是同一个点),∴点O就是△ABC得重心.(3)解:如答图3所示,连接DG.设S△GOD=S,由(1)知=,即OA=2OD,∴S△AOG=2S,S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S.为简便起见,不妨设AG=1,BG=x,则S△BGD=3xS.∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=(3x+3)S,∴S△ABC=2S△ABD=(6x+6)S.设OH=k•OG,由S△AGO=2S,得S△AOH=2kS,∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=(2k+2)S.∴S四边形BCHG=S△ABC-S△AGH=(6x+6)S-(2k+2)S=(6x-2k+4)S.∴==①如答图3,过点O作OF∥BC交AC于点F,过点G作GE∥BC交AC于点E,则OF∥GE.∵OF∥BC,∴,∴OF=CD=BC;∵GE∥BC,∴,∴GE