过关综合测评第二章测评(四)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线y=kx-k+1与椭圆x29+y24=1的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不确定答案A解析直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.2.如果方程x2a2+y2a+6=1表示焦点在x轴上的椭圆,那么实数a的取值范围是()A.(3,+∞)B.(-∞,-2)C.(-∞,-2)∪(3,+∞)D.(-6,-2)∪(3,+∞)答案D3.(2021贵州贵阳模拟)已知椭圆C:x2m+y24=1(m>4)的离心率为33,则椭圆C的长轴长为()A.6B.6C.26D.12答案C解析由题意可知m-4m=33,解得m=6,即a=6,所以椭圆长轴长为26.4.已知点M(3,y0)是抛物线y2=2px(0<p<6)上一点,且M到抛物线焦点的距离是M到直线x=p2的距离的2倍,则p等于()A.1B.2C.32D.3答案B解析由抛物线的定义及已知条件可得3+p2=23-p2,又0<p<6,∴p=2.5.(2021山西运城一模)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>b>0)的两条渐近线夹角为α,且tanα=43,则其离心率为()A.52B.2或5C.5D.52或5答案A解析∵双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)的两条渐近线夹角为α,且tanα=43,∴一条渐近线的斜率为tanα2,则2tanα21-tan2α2=43,解得tanα2=12或tanα2=-2(舍),∴e2=1+ba2=54,∴e=52(负值舍去).6.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线()A.有且只有一条B.有且只有两条C.有且只有三条D.有且只有四条答案B解析设该抛物线的焦点为F,A,B的横坐标分别为xA,xB,则|AB|=|AF|+|FB|=xA+p2+xB+p2=xA+xB+1=3>2p=2.所以符合条件的直线有且只有两条.7.如图所示,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点M,连接MF2,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为()A.6B.3C.2D.5答案B解析将x=c代入双曲线的方程,得y=±b2a,∵点M在第一象限,∴Mc,b2a.在△MF1F2中,tan30°=b2a2c,即c2-a22ac=33,解得e=ca=3,e=-33(舍).8.(2021河南郑州模拟)已知双曲线D:x2-y2=1,点M在双曲线D上,点N在直线l:y=kx上,l的倾斜角θ∈π4,π2,且|ON|2=cos2θ1+cos2θ,双曲线D在点M处的切线与l平行,则△OMN的面积的最大值为()A.3-54B.3-52C.3-2D.3-22答案D解析由题意,不妨设M(x0,y0)在第一象限,则双曲线D在M处的切线方程为x0x-y0y=1,所以k=x0y0,又因为x02-y02=1,联立k=x0y0,x02-y02=1,解得x0=kk2-1,y0=1k2-1.点M到直线l的距离d=|kx0-y0|1+k2=k2k2-1-1k2-11+k2=k2-1k2+1,因为|ON|2=cos2θ1+cos2θ,所以|ON|=cos2θ1+cos2θ=cos2θsin2θ+2cos2θ=1k2+2,所以S△OMN=12|ON|·d=121k2+2·k2-1k2+1=12k2-1k4+3k2+2,令t=k2-1,则k2=t+1,因为θ∈π4,π2,所以k>1,所以t>0,S△OMN=12tt2+5t+6=121t+6t+5≤125+26=12(3+2)=3-22,当且仅当t=6t,即t=6时取等号,即面积取到最大值3-22.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线C的离心率等于()A.32B.23C.12D.2答案AC解析设圆锥曲线C的离心率为e,根据|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,若圆锥曲线为椭圆,则由椭圆的定义,得e=|F1F2||PF1|+|PF2|=34+2=12;若圆锥曲线为双曲线,则由双曲线的定义,得e=|F1F2||PF1|-|