第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线y=kx-k+1与椭圆x29+y24=1的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不确定答案A解析直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.2.已知椭圆M:x2+y24=λ经过点(1,2),则M上一点到两焦点的距离之和为()A.2B.22C.4D.42答案D解析由椭圆M:x2+y24=λ经过点(1,2)可得λ=2,即椭圆方程为y28+x22=1,则a=22,由椭圆的定义可知M上一点到两焦点的距离之和为2a=42.3.已知0<θ<π4,则双曲线C1:x2sin2θ-y2cos2θ=1与C2:y2cos2θ-x2sin2θ=1的()A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等答案D解析双曲线C1和C2的实半轴长分别是sinθ和cosθ,虚半轴长分别是cosθ和sinθ,半焦距都等于1,故选D.4.已知点M(3,y0)是抛物线y2=2px(0<p<6)上一点,且M到抛物线焦点的距离是M到直线x=p2的距离的2倍,则p等于()A.1B.2C.32D.3答案B解析由抛物线的定义及已知可得3+p2=23-p2.又0<p<6,∴p=2.5.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线()A.有且只有一条B.有且只有两条C.有且只有三条D.有且只有四条答案B解析设该抛物线的焦点为F,A(xA,yA),B(xB,yB),则|AB|=|AF|+|FB|=xA+p2+xB+p2=xA+xB+1=3>2p=2.所以符合条件的直线有且只有两条.6.已知a>b>0,椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1,双曲线C2的方程为x2a2-y2b2=1,C1与C2的离心率之积为32,则C2的渐近线方程为()A.x±2y=0B.2x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0答案A解析设椭圆和双曲线的半焦距为c1,c2,则e1·e2=c1a·c2a=a2-b2a·a2+b2a=a4-b4a2=32,所以ba=22,所以双曲线C2的渐近线方程为y=±bax=±22x,即x±2y=0.7.如图所示,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点M,连接MF2,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为()A.6B.3C.2D.5答案B解析将x=c代入双曲线的方程得y=b2a,即Mc,b2a,在Rt△MF1F2中,tan∠MF1F2=tan30°=b2a2c,即c2-a22ac=33,解得e=ca=3(负值舍去).8.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是()A.3B.2C.233D.2答案A解析设椭圆的长半轴长为a1,椭圆的离心率为e1,则e1=ca1,a1=ce1.双曲线的实半轴长为a,双曲线的离心率为e,e=ca,a=ce,设|PF1|=x,|PF2|=y(x>y>0),则4c2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy,当P被看作是椭圆上的点时,有4c2=(x+y)2-3xy=4a12-3xy,当P被看作是双曲线上的点时,有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,两式联立消去xy得4c2=a12+3a2,即4c2=ce12+3ce2,所以1e12+31e2=4,又1e1=e,所以e2+3e2=4,整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3或e2=1(舍去),所以e=3,即双曲线的离心率为3.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线C的离心率等于()A.32B.23C.12D.2答案AC解析设圆锥曲线的离心率为e,由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,知(1)若圆锥曲线为椭圆,则由椭圆的定义,得e=|F1F2||PF1|+|PF2|=34+2=12;(2)若圆锥曲线为双曲线,则由双曲线的定义,得e=|F1F2||PF1|-|PF2|=34-2=32.