数理金融学第三章狭义的现代组合理论------马科维茨提出的资产组合理论（50年代，从单个投资者考虑问题，局部均衡分析）广义的现代组合理论------马科维茨提出的资产组合理论------马科维茨提出的有效组合决定模型的各种替代理论（60年代开始，其他求解资产有效组合的理论和方法，如指数化模型，简化的有效组合决策模型）和资本市场理论（从整体的资本市场的角度考虑问题，一般的均衡分析，包括：资本资产的价格理论（CAPM,APT），以及证券市场的效率理论(效率市场假设)）3.1资产组合的收益与风险资产组合（Portfolio）的优点例如有A、B两种股票，每种股票的涨或跌的概率都为50%，若只买其中一种，则就只有两种可能，但是若买两种就形成一个组合，这个组合中收益的情况就至少有六种。组合的收益假设组合的收益为rp，组合中包含n种证券，每种证券的收益为ri，它在组合中的权重是wi，则组合的投资收益为组合的方差21.09.2024根据概率论，对于任意的两个随机变量，总有下列等式成立没有221.09.2024总结例题例2：假设某组合包含n种股票。投资者等额地将资金分配在上面，即每种股票占总投资的1/n，每种股票的收益也是占总收益的1/n。设若投资一种股票，其期望收益为r，方差为σ2，且这些股票之间两两不相关，求组合的收益与方差。组合的收益是各种证券收益的加权平均值，因此，它使组合的收益可能低于组合中收益最大的证券，而高于收益最小的证券。只要组合中的资产两两不完全正相关，则组合的风险就可以得到降低。只有当组合中的各个资产是相互独立的且其收益和风险相同，则随着组合的风险降低的同时，组合的收益等于各个资产的收益。2.2组合投资理论概述2.3资产组合投资理论2.3.1组合的可行集和有效集两种风险资产构成的组合的风险与收益注意到两种资产的相关系数为1≥ρ12≥－1因此，分别在ρ12＝1和ρ12＝－1时，可以得到资产组合的可行集的顶部边界和底部边界。其他所有的可能情况，在这两个边界之中。组合的风险－收益二维表示两种资产完全正相关，即ρ12＝1，则有命题2.1：完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。证明：由资产组合的计算公式可得两种资产组合（完全正相关），当权重w1从1减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的可行集（假定不允许买空卖空）。2.3.3两种完全负相关资产的可行集命题2.2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。证明：21.09.2024两种证券完全负相关的图示2.3.4两种不完全相关的风险资产的组合的可行集总结：在各种相关系数下、两种风险资产构成的可行集21.09.20243种风险资产的组合二维表示类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得到一个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。总结：可行集的两个性质2.3.5风险资产组合的有效集整个可行集中，G点为最左边的点，具有最小标准差。从G点沿可行集右上方的边界直到整个可行集的最高点S（具有最大期望收益率），这一边界线GS即是有效集。例如：自G点向右上方的边界线GS上的点所对应的投资组合如Ｐ，与可行集内其它点所对应的投资组合（如Ａ点）比较起来，在相同风险水平下，可以提供最大的预期收益率；而与Ｂ点比较起来，在相同的收益水平下，Ｐ点承担的风险又是最小的。总结马克维茨的数学模型*21.09.2024对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入拉格朗日乘子λ和μ来解决这一优化问题。构造拉格朗日函数如下和方程这样共有n＋2方程，未知数为wi（i＝1，2,…,n）、λ和μ，共有n＋2个未知量，其解是存在的。注意到上述的方程是线性方程组，可以通过线性代数加以解决。例：假设三项不相关的资产，其均值分别为1，2，3，方差都为1，若要求三项资产构成的组合期望收益为2，求解最优的权重。21.09.20242.3.6最优风险资产组合理性投资者对风险偏好程度的描述——无差异曲线不同理性投资者具有不同风险厌恶程度最优组合的确定资产组合理论的优点资产组合理论的缺点附录1:n项风险资产组合有效前沿3.使用矩阵表示资产之间的方差协方差，有其中，是所有元素为1的n维列向量。由此构造拉格朗日函数注意到方差-协方差矩阵正定，二阶条件自动满足，故只要求一阶条件（4）为简化，定义这样我们就可以将（5）和（6）改写为将（7）和（8）代入（4）得到，给定收益条件下的最优权重向量为附录2：最小方差集的几何特征根据线性代数的性质有这样，由（9）得到的最优权重向量改写为由于这是均方二维空间中的双曲线，不妨称为最小方差曲线（minvariancecurve）。双曲线的中心是（0，b/c），渐近线为性质2：全局最小方差点的权重向量为所以，代入（10）得到附录3：两基金分离定理（