课后素养落实(三十五)平面与平面垂直的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则()A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直C[当b＝α∩β时，必有a⊥β；当b不是α与β的交线时，直线a不一定垂直于平面β．]2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能D[两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能．]3．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是()A．8B．12C．16D．18C[如图，根据正六边形的性质可知，以四边形A1ABB1，A1AFF1，A1ACC1和A1AEE1为底面矩形，各有4个阳马，故共有4×4＝16(个)阳马．故选C．]4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥βD[如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥α⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β．故选D．]5．在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，沿AD折成二面角B­AD­C后，BC＝eq\f(1,2)AB，这时二面角B­AD­C的大小为()A．60°B．90°C．45°D．120°A[∠BDC为二面角B­AD­C的平面角，设正三角形ABC的边长为m，则折叠后，BC＝eq\f(1,2)m，BD＝DC＝eq\f(1,2)m，所以∠BDC＝60°．]二、填空题6．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．(用序号表示)①②⇒③(答案不唯一)[由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，∵l′⊂β，∴α⊥β，故①②⇒③．]7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝________．1[因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B­AD­C的平面角，因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°．在△BCD中∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，所以BD＝CD＝eq\f(\r(2),2)，所以BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝1．]8．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．45°[如图，过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD．∴∠ADO＝45°．]三、解答题9．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC．求证：平面AEC⊥平面AFC．[证明]如图，连接BD，设BD交AC于点G，连接EG，FG，EF．在菱形ABCD中，不妨设GB＝1，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\r(3)．由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC．又AE⊥EC，所以EG＝eq\r(3)，且EG⊥AC．在Rt△EBG中，BE＝eq\r(EG2－BG2)＝eq\r(2)，故DF＝eq\f(\r(2),2)．在Rt△FDG中，FG＝eq\r(DF2＋DG2)＝eq\f(\r(6),2)．在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝eq\r(2)，DF＝eq\f(\r(2),2)，可得EF＝eq\f(3\r(2),2)．因为EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG．又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC．又EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC．10．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，对角线AC，BD相交于点O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B­ACD，点M是棱BC的中点，DM＝3eq\r(2)．求证：(1)OM∥平面ABD；(2)平面ABC⊥平面MDO．[证明](1)由题意知，