案例预测战争模型1.1问题描述..................................................................................................11.2分析与建模..............................................................................................11.3模型求解..................................................................................................21.4模拟求解..................................................................................................51.4.1运行情况1（a=0.4,b=0.10，delta_t=0.3）.......................51.4.2运行情况2，a=0.15;b=0.1;delta_t=0.05;...................................71.4.3运行情况3，a=0.15;b=0.1;delta_t=0.001;................................81.4.4求解程序......................................................................................101.1问题描述在第一次世界大战期间，F.W.Lanchester提出了预测战争结局的数学模型。根据战争的不同特性，他给出了三种作战模型。在建立模型时，简化了许多因素，模型变得简单，但仍有一定的实际意义。现考虑X、Y两方孤立交战的部队，双方均无增援部队的情况。希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：1.预测哪一方将获胜？2.估计获胜的一方最后剩下多少士兵？3.计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？4.战斗的持续时间。1.2分析与建模假定X部队t时刻存活的士兵数为x(t)，而Y部队在t时刻存活的士兵数为y(t)，将x(t)与y(t)都看作连续变量。并假定双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗，即不考虑俘虏和伤员。关于双方的作战伤亡情况，一种合理的假设是，在Δt时间内，X部队被杀死的士兵数Δx将取决于Δt的长短，以及在Δt起始时刻与其交战的Y部队的士兵数。假定是一种正比关系，即Δx=－ayΔt其中a是一个常数，，代表了Y部队的战斗力，称为“杀伤率”，更明确地说，a是Y部队的一个士兵在单位时间内杀死X部队的名士兵数。类似地，对于Y部队有Δy－axΔt令Δt0，得到两个微分方程,aydtdx(a>0),bxdtdy(b>0)从而得到联立微分方程组如下：.)0(,)0()0(,,)0(,00yyxxbbxdtdyaaydtdx(6.3.4)1.3模型求解对联立微分方程组(6.3.4)中的任一方程进行积分，直接求出方程的解是很困难的也无必要。根据作战的实际背景，可以分析出以下几点：方程组里的变量满足x≥0，y≥0，有唯一平衡点（0，0）；x(t)，y(t)都是递减函数，且随着x，y的减小，其衰减速度也在降低。在我们的模型中，若有一方部队的士兵数为零，就标志着战斗的结束。将两个方程相除消去时间变量t，得aybxdxdy可分离变量bxdxaydy对两边积分得到22222cbxay或者cbxay22代入初始条件，有cbxay2020)()(202202xxbyya（6.3.5）在相平面（xy平面）上，轨线是双曲线的一部分，如图6.3.1所示。为预测何方部队获胜，将剩下多少士兵，先考虑一种特殊情况。战斗开始时双方投入兵力满足2020bxay，解曲线方程（6.3.5）化为22bxay或xaby方程的轨线是一条过原点，斜率为ab/的直线，称为等战斗力直线。这种情况下，战斗