http://cooco.net.cn永久免费在线组卷课件教案下载无需注册和点数http://cooco.net.cn永久免费在线组卷课件教案下载无需注册和点数《三角形的内角和》例题精讲与同步练习【基础知识精讲】1.内角和定理及推论定理：三角形三个内角之和等于180°.已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°(图3.3-1)图3.3-1分析本题要添设辅助线，而辅助线的出现不是突发奇想得到的，而是按已知，结合求证及结论逐渐分析后水到渠成的.要证内角和180°，可先找到一个180°，而三角形内、外角和180°，这样，第一条辅助线延伸BC至D就自然出现，现将问题转化为证∠A+∠B=∠ACD.可考虑在∠ACD内作一个∠ACE=∠A，若可行则CE∥AB.进而∠ECD=∠B，从而证得结论.考虑到∠ACD与∠A，大小关系暂不知道，由上述分析，可改变辅助线CE的出现方式，即：作CE∥AB.这样，∠A=∠ACE.∠B=∠ECD,从而得结论.具体证明见课本.推论1.直角三角形两锐角互余.推论2.三角形外角等于不相邻两内角和.推论3.三角形外角大于任一不相邻内角.分析推论2，3中，都是指外角与不相邻的两内角间的关系，它与相邻的内角除互补外，无其他明显的大小关系.2.关于三角形按角分类鉴于三角形内角和180°,故一个三角形中最多只需一个直角或钝角(否则和就超过180°)而必有两个锐角，我们可根据第三个内角(两个锐角之外的内角)的大小进行分类.(1)第三个角为锐角，即三个内角均为锐角，则称为锐角三角形.（2）第三个角为钝角，即三内角中有一个是钝角，则称为钝角三角形.(3)第三个角为真角，即有一个内角为直角，则称为直角三角形.又(1)(2)合称为斜三角形，即分类如下.三角形集合图示注：斜三角形不要记为“斜角”三角形.按边分类与按角分类地位是同等的，可交叉使用(如：等腰锐角三角形，不等边钝角三角形等等).这里我们只需了解最多见的等腰直角三角形即可.3.关于直角三角形(也记为Rt△)直角三角形作为一类特殊三角形，以后各章节还将作专题研讨.这里只介绍一些基本知识：各边的名称：夹直角的两条边称为直角边，第三边为斜边.推论1已给出两锐角的关系.由于点到直线的连线段中，垂线段最短，我们有结论：直角三角形斜边大于任意一条直角边.即：直角三角形三边中，斜边最长.如果一个直角三角形同时又是等腰三角形.则称为等腰直角三角形.由上述结论可知，相等的两边必为直角边，且内角中每个锐角为45°.我们也将等腰直角三角形定义为：两条直角边相等的三角形为等腰直角三角形.另外：由面积公式可知：直角三角形斜边上的高与斜边的积等于两直角边的积.即若CD为Rt△ABC斜边上的高，则AC·BC=CD·AD.【重点难点解析】重点：是内角和定理及推论；难点：在于这些知识结合前面相关知识的运用.例1△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7.则此三角形为：A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形分析判断三角形按角分类为哪一种三角形，可先求出三个角的度数，再判断角.也可只求出最大角的度数，再根据最大角的范围判断三角形是哪一类三角形.解：设∠A=2x,依题意∠B=3x,∠C=7x.又∠A+∠B+∠C=180°∴12x=180°x=15°求得∠A=30°∠B=45°∠C=105°选C也可直接求出∠C=105°＞90°∴选C另解：设同上，∵=6x＜7x∴7x＞==90°∴∠C＞90°选C第二种解法中巧妙利用有一个角为钝角的三角形是钝角三角形，不求角度，直接得结论.上述两解法均利用代数方法解几何问题，这类思想方法很重要.另设未知数时，未简单设某一个角为x，而是利用已知比例巧设，以达到简化计算之目的.例2已知：CD为Rt△ABC斜边上的高(图3.3-2).求证∠ACD=∠B,∠BCD=∠A.图3.3-2分析充分利用直角三角形两锐角互余是解决本题之要点.证∵CD为Rt△ABC斜边上的高，∴∠A+∠B=90°,又在Rt△ACD中，∠BCD+∠B=90°∴∠ACD=∠B∠BCD=∠A.例3已知：如图3.3-3，AD，BE为△ABC的高.图3.3-3求证：∠CAD=∠CBE.分析考查Rt△ACD与Rt△BCE即可得出结论，或设AD，BE交于P，考查△AEP和△BDP亦可.证一∵AD⊥BC∴∠CAD+∠C=90°同理∠CBD+∠C=90°(BE⊥AC)∴∠CAD=∠CBE.证二设AD，BE交于P，∵AD⊥BC,BE⊥AC.在△APE和△BPD中，∠EAP+∠APE=90°∠DBP+∠DPB=90°.又∠APE=∠DPB∴∠EAP=∠DBP即∠CAD=∠CBE.例4P为△ABC内一