实数的连续性（常用版）(可以直接使用，可编辑完整版资料，欢迎下载）第四章实数的连续性极限理论问题首先是极限的存在问题。一个数列是否极限，不仅与数列本身的结构有关，而且也与数列所在的数集有关。如果在有理数集上讨论极限，那么单调有界数列就可能不存在极限。例如，单调有界数列就不存在极限，因为它的极限不是有理数。从运算来说，有理数集关于极限运算不封闭。即有理数列的极限不一定还是有理数。如果在实数集上讨论极限，情况就好得多。这对任何单调有界数列都存在极限，即§2.2的公理。从运算来说，实数集关于极限运算是封闭的。这个性质就是实数的连续性。实数的连续性是实数集有别与有理数集的重要特征，是实数集的优点。因此将极限理论建立在实数集之上，极限理论就有了巩固的基础。描述实数的连续性有多种不同的方法，本章是在§2.2的公理基础上，证明与公理等价的其它几个关于实数的连续性定理。实际上，这几个定理，可任选一个作为公理，然后推出其它定理。§4.1实数的连续性定理闭区间套定理定理1设有闭区间列满足:(1);(2).则.用公理证明闭区间套定理。由条件知数列单调增加有上界，数列单调减少有下界。关于这个定理作两点说明：要求闭区间这个条件是重要的，若为开区间列，则定理的结论不一定成立。如：，显然有,但。如果开区间列是严格包含：，且，则定理的结论还是成立的。若，但，此时有。此定理给出通过逐步缩小范围，找出所求点的一种方法。例如下面的确界定理，就可用此定理来证明。二．确界定理定义1设是非空数集，若，且（1）；（2）。则称是数集的上确界，表为。定义2设是非空数集，若，且（1）；（2）。则称是数集的下确界，表为。例1，则。例2，则。例3是定义在=上的有界函数，证明：例4设，则。例5开区间与闭区间这两个数集有相同的下确界与上确界。例6不存在，。例7整数集无上、下确界。从上面的例子看到，有限集必有上、下确界，而且上、下确界都属于该数集，即最大数与最小数。无限集不一定存在上、下确界，如果存在，也不一定属于该数集。由确界的定义知，有上（下）确界的数集，一定有上（下）界，反之，我们有定理2（确界定理）若非空数集有上（下）界，则数集存在唯一的上（下）确界。证法：用闭区间套定理将所要找的数集的上（下）确界“套”出来。确界定理也是实数连续性的一种描述。有些教科书把它作为公理，首先提出来。一般来说，在一个有界数集上要想找到与该数集有特殊关系的数（上、下确界）要用确界定理。三．有限覆盖定理设I是一个区间（或开或闭），并有开区间集S（S的元素都是开区间，开区间的个数可有限，也可无限）。定义3若，有，则称开区间集S覆盖了区间I。例1，覆盖了，但中找不出有限个开区间将它覆盖。例2，覆盖了，且可选出有限个开区间将它覆盖。事实上，若I=是有界闭区间，S是I的一个开覆盖，则总可以找出有限个开区间将它覆盖。定理3若开区间集S覆盖了闭区间，则S中存在有限个开区间也覆盖了闭区间。现用确界定理证明。思路：构造一个集合EMBEDEquation.DSMT4={能被S中有限个开区间将它覆盖}，则非空有上界，从而有上确界，再证=。证明：构造集合E={能被S中有限个开区间覆盖}。则E非空。事实上，因为S覆盖了闭区间[]，那么[，必存在S的一个开区间覆盖了它。所以E。又因为，所以E有上界。由确界定理，E有上确界。设则，从而，S中必有一个开区间使。由上确界定义，存在。因为为S的有限覆盖，添加后，也是S的有限覆盖，故E。现证。事实上，若，则，从而在上必存在，使得也是S的有限覆盖，这与矛盾。所以，即S中存在有限个开区间覆盖了闭区间[]。有限覆盖定理也称为紧致性定理或海涅-博雷尔定理。作业P1401（2），（4），（6），（8），3，4四．聚点定理含有无穷多个元素的点集，称为无穷点集。如开区间与闭区间是常见的无穷点集。现在我们来讨论任意的无穷点集。定义4设是一个定点，若，则称是的聚点。定义4ˊ设是一个定点，若含有的无穷多个点，则称是的聚点。例1，则[]中的每一点都是的聚点。，则是的聚点。无聚点。命题1是的聚点的充要条件是在中存在互异点列。注意：数列的极限与所构成的点集的聚点是不同的概念。定理4数轴上有界无限点集至少有一个聚点。证法：应用有限覆盖定理证明，用反证法。五．致密性定理定理5有界数列必有收敛的子数列。证法：应用聚点定理证明。注：当数列无界时，虽然不能应用致密性定理，但也有一个类似的性质。即在中必存在一个子列，使得。若无上界，则必存在一个子列，使得。若无下界，则必存在一个子列，使得。六．柯西收敛准则定理6数列收敛。证法：应用致密性定理证明定理的充分