⾼等数学（本科）第七章课后习题解答习题7.11.在空间直⾓坐标系中，指出下列各点位置的特点.()0,5,0-A；()0,3,3-B；()3,0,6-C；()0,0,4D；()7,5,0-E；()9,0,0F.【解】A点在y轴上；B点在xoy坐标⾯上；C点在zox坐标⾯上；D点在x轴上；E点在yoz坐标⾯上；F点在z轴上.2.指出下列各点所在的卦限.()1,3,2-A；()2,1,7--B；()1,3,2---C；()3,2,1--D.【解】A点在第五卦限；B点在第三卦限；C点在第七卦限；D点在第六卦限.3.⾃点()2,3,1--M分别作xoy、yoz、zox坐标⾯和x、y、z坐标轴的垂线，写出各垂⾜的坐标，并求出点M到上述坐标⾯和坐标轴的距离.【解】()2,3,1--M在xoy坐标⾯上的垂⾜为()0,3,1-、在yoz坐标⾯上的垂⾜为()2,3,0-、在zox坐标⾯上的垂⾜为()2,0,1--；()2,3,1--M在x轴的垂⾜为()0,0,1-、在y轴的垂⾜为()0,3,0、在z轴的垂⾜为()2,0,0-；()2,3,1--M到x轴的距离为()132322=-+；()2,3,1--M到y轴的距离为()()52122=-+-；()2,3,1--M到z轴的距离为()103122=+-.3.已经点()2,1,3--M求：（.1）点M关于各坐标⾯对称点的坐标；（2）点M关于各坐标轴对称点的坐标；（3）点M关于坐标原点的对称点的坐标.【解】（1）()2,1,3--M关于xoy⾯对称点的坐标是(),2,1,3-；()2,1,3--M关于yoz⾯对称点的坐标是(),2,1,3---；()2,1,3--M关于zox⾯对称点的坐标是(),2,1,3-.（2）()2,1,3--M关于x轴对称点的坐标是(),2,1,3；()2,1,3--M关于y轴对称点的坐标是(),2,1,3--；()2,1,3--M关于z轴对称点的坐标是(),2,1,3--.（3）()2,1,3--M关于坐标原点的对称点的坐标是(),2,1,3-.求点5.()5,3,4-A到坐标原点和各坐标轴的距离.【解】()5,3,4-A到坐标原点距离为()25534222=+-+；()5,3,4-A到x轴的距离为()345322=+-；()5,3,4-A到y轴的距离为415422=+；()5,3,4-A到z轴的距离为()53422=-+.6.在y轴上求与点()7,2,3-A和()7,1,3-B等距离的点.【解】设所求点为()0,,0yC据题意，有.BCAC=，即()()()()=-+-+--22270230y()()()()22270130--+-+-y解得23=y.所以，所求之点为.0,23,0?????C7.已知三⾓形ABC的顶点坐标分别为()3,2,1A、()3,10,7B和()1,3,1-C，试证明∠BAC为钝⾓.【解】AB边长()()()103321017222=-+-+-==ABc；AC边长()()()()3312311222=-+-+--=b；BC边长()()()()1173110371222=-+-+--=a.由余弦定理知cos∠BAC()010321171032222222-+=bcacb，所以，∠BAC为钝⾓.8.试在xoy⾯上求⼀点，使它到()5,1,1-A、()4,4,3B和()1,6,4C各点的距离相等.【解】设所求点为()0,,yxD据题意，有.CDBDAD==，即()()()()=-+--+-2225011yx()()()222443-+-+-zyx()()()222164-+-+-=zyx解得5,16-==yx所以，所求之点为.().0,5,16-D习题7.21.设平⾏四边形ABCD的对⾓线向量==,，试⽤，表⽰,,,.【解】记平⾏四边形ABCD的对⾓线的交点为O.()-=-=-=-==2121212121；同理可求出，()+=+=+=212121；()abABCD-=-=21；()+-=-=21.2.已知向量nma23-=，nma+=.试⽤向量nm,表⽰ba32-.【解】32-()()733232-=+--=.3.设2-+=，+--=3.试⽤向量,,表⽰32-.【解】32-()()71153322-+=+----+=.4.设ABCDEF是⼀个正六边形，AFbABa==,，试⽤a，b表⽰EFDECDBC,,,.【解】记六边形ABCDEF的对⾓线的交点为O