2023-2024学年广东省中山市高二下学期期末统一考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若ᵃ3=10ᵃ3，则ᵅ=()2ᵅᵅA.7B.8C.9D.102.设某商场今年上半年月销售额ᵆ(万元)关于月份ᵆ(ᵆ=1,2,…,6)的经验回归方程为ᵆ=1.2ᵆ+ᵄ，已知上半年的总销售额为120万元，则该商场12月份销售额预计为()A.24B.27.8C.30.2D.323.已知函数ᵅ(ᵆ)=lnᵆ−ᵄᵆ在区间[1,3]上单调递减，则实数ᵄ的取值范围为()A.ᵄ≥1B.ᵄ>1C.ᵄ≥1D.ᵄ>1334.已知随机变量ᵄ的分布列为ᵄ(ᵄ=ᵅ)=ᵅ(ᵅ=1,2,3,4)，则ᵄ(2≤ᵄ<4)=()ᵄA.1B.3C.7D.92510105.已知随机变量ᵰ服从正态分布ᵄ
(1,ᵰ2)，且ᵄ(ᵰ<2)=0.6，则ᵄ(0<ᵰ<2)等于()A.0.4B.0.3C.0.2D.0.16.将五本不同的书全部分给甲，乙，丙三人，要求每人至少分得一本，则不同的分法有()A.90种B.150种C.180种D.250种7.已知定义域为ᵄ的函数ᵅ(ᵆ)，其导函数为ᵅ′(ᵆ)，且满足ᵅ′(ᵆ)−2ᵅ(ᵆ)<0,ᵅ(0)=1，则()A.ᵅ2ᵅ(−1)<1B.ᵅ(1)>ᵅ2C.ᵅ(2)>ᵅ4D.ᵅ(2)<ᵅ2ᵅ(1)8.在我国古代，杨辉三角(如图1)是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：ᵃ1+ᵃ1+12ᵃ1+⋯+ᵃ1=ᵃ2，类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层3ᵅᵅ+1如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少1个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为()，A.2ᵃ3−2B.2ᵃ3−2C.ᵃ4−2D.ᵃ4−22023202420242023二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.随机变量ᵄ∼ᵄ
(ᵰ,ᵰ2)且ᵄ(ᵄ≤2)=0.5，随机变量ᵄ∼ᵃ(3,ᵅ)，若ᵃ(ᵄ)=ᵃ(ᵄ)，则()2A.ᵰ=2B.ᵃ(ᵄ)=2ᵰ2C.ᵅ=D.ᵃ(3ᵄ)=2310.已知函数ᵅ(ᵆ)及其导函数ᵅ′(ᵆ)的部分图象如图所示，设函数ᵅ(ᵆ)=ᵅ(ᵆ)，则ᵅ(ᵆ)()ᵅᵆA.在区间(ᵄ,ᵄ)上单调递减B.在区间(ᵄ,ᵄ)上单调递增C.在ᵆ=ᵄ时取极小值D.在ᵆ=ᵄ时取极小值11.关于函数ᵅ(ᵆ)=(2ᵆ−ᵆ2)ᵅᵆ，下列结论错误的是()A.ᵅ(ᵆ)>0的解集是{ᵆ|0<ᵆ<2}B.ᵅ(−2)是极小值，ᵅ(2)是极大值C.ᵅ(ᵆ)没有最小值，也没有最大值D.ᵅ(ᵆ)有最大值，没有最小值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数ᵅ(ᵆ)=ᵅ2ᵆ，则过原点且与曲线ᵆ=ᵅ(ᵆ)相切的直线方程为．13.对于随机事件ᵃ,ᵃ，记ᵃ为事件ᵃ的对立事件，且ᵄ(ᵃ)=2,ᵄ(ᵃ∣ᵃ)=2,ᵄ(ᵃ∣ᵃ)=3，则ᵄ(ᵃ)=．3571114.(ᵆ2+ᵆ++)7展开式中的常数项为．ᵆᵆ四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知函数ᵅ(ᵆ)=ᵆ3−3lnᵆ．(1)求ᵅ(ᵆ)的最小值；3(2)设ᵅ(ᵆ)=ᵆ3+−3，证明：ᵅ(ᵆ)≤ᵅ(ᵆ)ᵆ16.(本小题12分)现有两台车床加工同一型号的零件.第1台车床的正品率为95%，第2台车床的正品率为93%，将加工出来的零件混放在一起.已知第1，2台车床加工的零件数分别为总数的60%,40%．(1)从混放的零件中任取1件，如果该零件是次品，求它是第2台车床加工出来的概率；，(2)从混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互独立.用ᵄ表示这10次抽取的零件是次品的总件数，试估计ᵄ的数学期望ᵃ(ᵄ)．17.(本小题12分)规定ᵃᵅ=ᵆ(ᵆ−1)⋅⋅⋅(ᵆ−ᵅ+1)，其中ᵆ∈ᵄ，ᵅ是正整数，且ᵃ0=1，这是组合数ᵃᵅ(ᵅ、ᵅ是正整数，且ᵆᵅ!ᵆᵅᵅ≤ᵅ)的一种推广．(1)求ᵃ4的值；−12ᵃ3(2)设ᵆ>0，当ᵆ为何值时，ᵆ取得最小值？(ᵃ