§9－1RLC串联电路的零输入响应根据前述方程得到以下微分方程电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当R，L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况二、过阻尼情况求解以上两个方程，可以得到例9-1电路如图9-1所示，已知R=3,L=0.5H,C=0.25F,uC(0)=2V,iL(0)=1A，求电容电压和电感电流的零输入响应。将固有频率s1=-2和s2=-4代入式（9－5）得到利用KCL和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响应三、临界情况联立求解以上两个方程，可以得到例9-2电路如图9-1所示。已知已知R=1，L=0.25H，C=1F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求电容电压和电感电流的零输入响应。利用电容电压的初始值uC(0)=-1V和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程得到电感电流的零输入响应根据以上两个表达式用计算机程序DNAP画出的波形曲线，如图9－3所示。四、欠阻尼情况齐次微分方程的解答具有下面的形式例9-3电路如图9-1所示。已知R=6,L=1H,C=0.04F,uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应。利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值iL(0)=0.28A得到以下两个方程(a)衰减系数为3的电容电压的波形(b)衰减系数为3的电感电流的波形(c)衰减系数为0.5的电容电压的波形(d)衰减系数为0.5的电感电流的波形图9－4欠阻尼情况从式(9-11)和图9-4波形曲线可以看出，欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。当例9－3中电阻由R=6Ω减小到R=1Ω，衰减系数由3变为0.5时，用计算机程序DNAP得到的电容电压和电感电流的波形曲线，如图9－4(c)和(d)所示，由此可以看出曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。例9-4电路如图9-1所示。已知R=0,L=1H,C=0.04F,uC(0)=3V,iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应。将两个不相等的固有频率s1=j5和s2=-j5代入式（9-11）得到用计算机程序DNAP画出的电容电压和电感电流的波形曲线，如图9－5所示。从电容电压和电感电流的表达式和波形曲线可见，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位差为90，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。从以上分析计算的结果可以看出，RLC二阶电路的零输入响应的形式与其固有频率密切相关，我们将响应的几种情况画在图9－6上。图9-6由图9－6可见：1.在过阻尼情况，s1和s2是不相等的负实数，固有频率出现在s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。2.在临界阻尼情况，s1=s2是相等的负实数，固有频率出现在s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。3.在欠阻尼情况，s1和s2是共轭复数，固有频率出现在s平面上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数越大，衰减越快。衰减振荡的角频率d越大，振荡周期越小，振荡越快。图中按Ke-t画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围。4.在无阻尼情况，s1和s2是共轭虚数，固有频率出现在s平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角频率为0的等幅振荡。显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固有频率均处于s平面上的左半平面上时，电路是稳定的。