(每日一练)通用版2023高中数学导数及其应用专项训练单选题1、函数푦=2푥(ln푥+1)在푥=1处的切线方程为（）A．푦=4푥+2B．푦=2푥−4C．푦=4푥−2D．푦=2푥+4答案：C解析：先求出导函数，代入푥=1可得切线斜率，再求出切点，进而可得切线方程.′1解：由已知푦=2(ln푥+1)+2푥⋅=2ln푥+4，푥′则푦|푥=1=4，又푥=1时，푦=2，则切线方程为푦=4푥−2.故选：C.小提示：本题考查利用导数求切线方程，是基础题.2、函数푓(푥)=푥2−sin푥在[0，π]上的平均变化率为A．1B．2C．πD．휋2答案：C解析：1根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.푓(π)−푓(0)π2平均变化率为==π.π−0π故选：C小提示：本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题.3、如图所示，函数푦=푓(푥)的图象在点푃处的切线方程是푦=−푥+5,则푓(3)+푓′(3)=（）1A．B．1C．2D．02答案：B解析：由导数的几何意义得出푓′(3)，再求푓(3)+푓′(3).由题中图象知푓(3)=−3+5=2，′由导数的几何意义知푓(3)=−1，′∴푓(3)+푓(3)=2−1=1．故选：B解答题ln푥14、已知函数푓(푥)=，曲线푦=푓(푥)在点(1,푓(1))处的切线方程为푦=푥+푏.푎푥+12（1）求a，b的值；221（2）证明：푓(푥)>−.푒푥푥1答案：（1）푎=1，푏=−；（2）证明见解析.2解析：111（1）根据푓(1)=+푏解得푏=−，根据푓′(1)=解得푎=1；22222ln푥211（2）利用导数先证<在(0,+∞)上成立，再将所证不等式转化为证≥−，即ln푥+−1≥0在푒푥푥+1푥+1푥+1푥푥(0,+∞)上成立，构造函数利用导数可证不等式成立.11（1）由已知得푓(1)=0=+푏，∴푏=−.221(푎푥+1)−푎ln푥푎+11푓′(푥)=푥，푓′(1)==,푎=1.(푎푥+1)2(푎+1)22（2）设푔(푥)=푒푥−푥−1，则푔′(푥)=푒푥−1，由푔′(푥)>0得푥>0；由푔′(푥)<0得푥<0.∴푔(푥)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，∴푔(푥)在푥=0处取得最小值푔(0)=0，22∴当푥>0时，푒푥>푥+1，所以<，푒푥푥+121ln푥211∴要使푓(푥)>−在(0,+∞)上成立，只需使≥−在(0,+∞)上成立，即ln푥+−1≥0在(0,+∞)上成푒푥푥푥+1푥+1푥푥立，1푥−1设ℎ(푥)=ln푥+−1，则ℎ′(푥)=，由ℎ′(푥)>0得푥>1，由ℎ′(푥)<0得0<푥<1.푥푥2∴ℎ(푥)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，1∴ℎ(푥)在푥=1处取得最小值ℎ(1)=0，即ln푥+−1≥0在(0,+∞)上成立푥∴原不等式成立.ln푥5、已知函数푓(푥)=−.푥푥（1）设푔(푥)=푓(푥)+푓()，求函数푔(푥)的最小值；푥−131（2）设ℎ(푥)=푓()，对任意푥、푥∈(0,+∞)，ℎ(푥)+ℎ(푥)≥ℎ(푥+푥)+푘⋅(푥+푥)恒成立，求푘的最大푥12121212值.答案：（1）−ln2；（2）−ln2.解析：1（1）令푡=，设퐹(푡)=푔(푥)=푡ln푡+(1−푡)ln(1−푡)，其中푡∈(0,1)，利用导数求出函数퐹(푡)在区间(0,1)上푥的最小值，即为所求；푥1푥2（2）分析可得ℎ(푥1)+ℎ(푥2)−ℎ(푥1+푥2)=(푥1+푥2)[ℎ()+ℎ()]，由参变量分离法得出푘≤푥1+푥2푥1+푥2푥푥푥푥푥ℎ(1)+ℎ(2)，利用（1）中的结论可得出ℎ(1)+ℎ(2)=퐹(1)≥−ln2，由此可得出实数푘푥1+푥2푥1+푥2푥1+푥2푥1+푥2푥1+푥2的最大值.1−ln푥111푥푡1（1）푓(푥)==ln，令푡=，则=1=，푥푥푥푥푥−1−11−푡푡设퐹(푡)=푔(푥)=푡ln푡+(1−푡)ln(1−푡)，其中푡∈(0,1)，푡则퐹′(푡)=ln푡+1−ln(1−푡)−1=ln，1−푡1푡当푡∈(0,)时，∈(0,1)，则퐹′(푡)<0，퐹(푡)单调递减，21−푡1푡当푡∈(,1)时，∈(1,+∞)，퐹′(푡)>0，퐹(푡)单调递增，21−푡11所以，푔(푥)=퐹(푡)=퐹()=ln=−ln2；minmin22