(每日一练)通用版2023高中数学导数及其应用知识点梳理单选题1、已知函数푓(푥)=푥2+푎ln푥的图象在(1，f（1）)处的切线经过坐标原点，则函数y=f(x)的最小值为（）11111A．−ln2B．+ln2C．+ln2D．122422答案：C解析：利用导数的几何意义求出푎=−1，从而可得푓(푥)=푥2−ln푥，求出导函数，利用导数判断出函数的单调性，由单调性即可求出最值.22函数푓(푥)=푥+푎ln푥，则푓(1)=1+푎ln1=1′푎′且푓(푥)=2푥+，所以푓(1)=2+푎，푥′푓(1)−0所以푓(1)==1=2+푎，解得푎=−1，1−02所以푓(푥)=푥−ln푥，（푥>0）′1푓(푥)=2푥−，푥′1√2令푓(푥)≥0，即2푥−≥0，解得푥≥，푥2′1√2令푓(푥)<0，即2푥−<0，解得0<푥<，푥222所以函数在区间(0,√)上单调递减，在区间[√,+∞)上单调递增.2222221211所以푓(푥)=푓(√)=(√)−ln√=−ln√=+ln2.min22222221故选：C2、函数푓(푥)=푥4−2푥3的图像在点(1，푓(1))处的切线方程为（）A．푦=−2푥−1B．푦=−2푥+1C．푦=2푥−3D．푦=2푥+1答案：B解析：求得函数푦=푓(푥)的导数푓′(푥)，计算出푓(1)和푓′(1)的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.∵푓(푥)=푥4−2푥3，∴푓′(푥)=4푥3−6푥2，∴푓(1)=−1，푓′(1)=−2，因此，所求切线的方程为푦+1=−2(푥−1)，即푦=−2푥+1.故选：B.小提示：本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题13、已知푥=2是푓(푥)=2ln푥+푎푥2−3푥的极值点，则푓(푥)在[,3]上的最大值是（）39517A．2ln3−B．−C．−2ln3−D．2ln2−42218答案：A解析：21求得函数的导数푓′(푥)=+2푎푥−3，根据푥=2是푓(푥)的极值点，求得푎=，进而求得函数푓(푥)单调性，结合푥2푓(1),푓(3)的值，即可求得函数的最大值，得到答案.2′2由题意，函数푓(푥)=2ln푥+푎푥−3푥，可得푓(푥)=+2푎푥−3，푥′1因为푥=2是푓(푥)的极值点，可得푓(2)=1+4푎−3=0，解得푎=，2′2(푥−1)(푥−2)所以푓(푥)=+푥−3=,푥>0，푥푥21′当≤푥<1时，푓(푥)>0，函数푓(푥)单调递增；3′当1<푥<2时，푓(푥)<0，函数푓(푥)单调递减；′当2<푥≤3时，푓(푥)>0，函数푓(푥)单调递增，59由푓(1)=−,푓(3)=2ln3−，2295又由푓(3)−푓(1)=2ln3−+=2ln3−2>2ln푒−1=0，所以푓(1)<푓(3)，229所以当푥=3时，函数푓(푥)取得最大值，最大值为2ln3−.2故选：A.解答题푥2−푎4、已知函数푓(푥)=，从①푥=−1是函数푓(푥)的一个极值点，②函数푓(푥)的图象在푥=0处的切线方程为e푥3푥−푦−3=0这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题．（1）求a的值；（2）求푓(푥)的单调区间．答案：（1）条件性选择见解析，푎=3；（2）单调递减区间为(−∞,−1)和(3,+∞)，单调递增区间为(−1,3)．解析：（1）选①，求出函数的导函数，根据푥=−1是函数푓(푥)的一个极值点，得函数在푥=−1处得到函数值为0，即可得出答案；选②，根据函数푓(푥)的图象在푥=0处的切线方程为3푥−푦−3=0，即函数在푥=0处得导数值为3，即可的解；（2）由（1）得푓(푥)=e−푥(푥2−3)，求出函数得导函数，再根据导函数得符号即可得出答案.解：（1）选①．푥푥22′2푥⋅e−e(푥−푎)2푥−푥+푎由题意知，푓(푥)==，(e푥)2e푥3依题意得，푓′(−1)=−e(1+2−푎)=0，即푎=3，经检验푎=3符合题意．选②．푥푥22′2푥⋅e−e(푥−푎)2푥−푥+푎由题意知，푓(푥)==，(e푥)2e푥因为函数푓(푥)的图象在푥=0处的切线方程为3푥−푦−3=0，所以푓′(0)=푎=3，得푎=3．（2）由（1）得푓(푥)=e−푥(푥2−3)，푓′(푥)=−e−푥(푥2−2푥−3)=−e−푥(푥−3)(푥+1)，令푓′(푥)=0得，푥=−1或푥=3，列表：푥(