(每日一练)人教版2023高中数学导数及其应用知识点题库单选题푥2+1,푥≥01、已知函数푓(푥)={的值域为[1,+∞)，则实数푎的取值范围是（）−푥3+3푥+푎,푥<0A．[1,+∞)B．(1,+∞)C．(3,+∞)D．[3,+∞)答案：D解析：求出函数푦=푥2+1在푥≥0时值的集合，函数푦=−푥3+3푥+푎在푥<0时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.当푥≥0时，푓(푥)=푥2+1在[0,+∞)上单调递增，∀푥∈[0,+∞)，푓(푥)≥푓(0)=1，则푓(푥)在[0,+∞)上值的集合是[1,+∞)，当푥<0时，푓(푥)=−푥3+3푥+푎，푓′(푥)=−3푥2+3=−3(푥+1)(푥−1)，当푥<−1时，푓′(푥)<0，当−1<푥<0时，푓′(푥)>0，即푓(푥)在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,0)上单调递增，∀푥<0，푓(푥)≥푓(−1)=푎−2，则푓(푥)在(−∞,0)上值的集合为[푎−2,+∞)，푥2+1,푥≥0因函数푓(푥)={的值域为[1,+∞)，于是得[푎−2,+∞)⊆[1,+∞)，则푎−2≥1，解得푎≥3，−푥3+3푥+푎,푥<0所以实数푎的取值范围是[3,+∞).故选：D2、函数푓(푥)=푥3(푥−1)的极值点的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个1答案：C解析：对函数求导并求出导函数的零点，再判断导函数在各零点左右的正负即可得解.43′3223对函数푓(푥)=푥−푥求导得：푓(푥)=4푥−3푥=4푥(푥−)，4′33′3′由푓(푥)=0得푥=0或푥=，而当푥<0和0<푥<时，都有푓(푥)<0，当푥>时，푓(푥)>0，4443所以0不是푓(푥)的极值点，是푓(푥)的极小值点，函数푓(푥)只有一个极值点.4故选：Ce|푥|3、函数푓(푥)=的部分图象大致为（）3푥A．B．C．D．答案：C解析：先求解푓(푥)的定义域并判断奇偶性，然后根据푓(1)的值以及푓(푥)在(0,+∞)上的单调性选择合适图象.e|푥|e|푥|푓(푥)=定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，푓(−푥)=−，3푥3푥则푓(−푥)=−푓(푥)，푓(푥)为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；e푓(1)=<1，故排除A；32e|푥|(푥−1)e푥∵푓(푥)=，当푥>0时，可得푓′(푥)=，当푥>1时，푓′(푥)>0，푓(푥)单调递增，故排除D.3푥3푥2故选：C.填空题14、设函数푓(푥)=푥2푒푥，若当푥∈[−2,2]时，不等式푓(푥)>푚恒成立，则实数푚的取值范围是______.2答案：(−∞,0)解析：由恒成立的不等式可知푚<푓(푥)min，利用导数可求得푓(푥)在[−2,2]上的单调性，进而得到푓(푥)min=푓(0)，由此得到结果.1푒푥푓′(푥)=푥푒푥+푥2푒푥=⋅푥(푥+2).22由푓′(푥)=0：得：푥=0或푥=−2.′′∴当푥∈(−2,0)时，푓(푥)<0；当푥∈(0,2]时，푓(푥)>0，∴푓(푥)在[−2,0)上单调递减，在(0,2]上单调递增，∴푓(푥)min=푓(0)=0，∴푚<0，即实数푚的取值范围为(−∞,0).所以答案是：(−∞,0).小提示：本题考查利用导数处理恒成立问题，关键是能够将恒成立问题转化为参数与函数最值之间的大小关系问题，利用导数求得函数的最值，从而求得结果.15、若函数푓(푥)=푚−푥2+2ln푥在[,e]上有两个零点，则实数푚的取值范围为___________．e21答案：(1,4+]e4解析：参变分离法得푚=푥2−2ln푥，再令푔(푥)=푥2−2ln푥，对函数푔(푥)求导并研究单调性，根据最小值和单调区间，3作出函数푔(푥)的图象，利用数形结合，即可求出结果．22令푓(푥)=푚−푥+2ln푥=0，则푚=푥−2ln푥，2′22(푥−1)(푥+1)令푔(푥)=푥−2ln푥，则푔(푥)=2푥−=，푥푥111∴在[,1]上푔′(푥)<0，푔(푥)递减，在[1,e]上푔′(푥)>0，푔(푥)递增，且푔(푥)≥푔(1)=1，푔()=4+，e2e2e42푔(e)=e−2．121由4+<5<e−2，即푔()<푔(e)，e4e2作出函数푔(푥)的图像，如下图所示：11∴푓(푥)在[,e]上有两个零点，则实数푚的取值范围为(1,4+]．e2e41所以答案是：(1,4+]．e44