(每日一练)人教版2023高中数学导数及其应用必考知识点归纳单选题1、已知函数푓(푥)为偶函数，当푥<0时，푓(푥)=ln(−푥)+3푥，则曲线푦=푓(푥)上的点到直线푦=−2푥+1的最小距离为（）253545A．1B．√C．√D．√555答案：B解析：首先求푥>0的解析式，根据条件求푓′(푥)=−2的点，再求点到直线的距离的最小值.′1当푥<0时，设点푃(푥1,푦1)，푓(푥1)=+3=−2，푥113解得：푥=−，푦=−ln5−，151523|−−ln5−−1|552+ln5此时点푃到直线푦=−2푥+1的距离푑==，1√5√5设푥>0，−푥<0，因为函数是偶函数，所以푓(푥)=푓(−푥)=ln푥−3푥，′1设点푄(푥2,푦2)，푓(푥2)=−3=−2，解得：푥2=1，푦2=−3，푥2|2−3−1|2此时点푄到直线푦=−2푥+1的距离푑==，2√5√525因为푑<푑，所以曲线푦=푓(푥)上的点到直线푦=−2푥+1的最小距离为푑=√.2125故选：B2、函数푓(푥)=푥3(푥−1)的极值点的个数是（）1A．3个B．2个C．1个D．0个答案：C解析：对函数求导并求出导函数的零点，再判断导函数在各零点左右的正负即可得解.43′3223对函数푓(푥)=푥−푥求导得：푓(푥)=4푥−3푥=4푥(푥−)，4′33′3′由푓(푥)=0得푥=0或푥=，而当푥<0和0<푥<时，都有푓(푥)<0，当푥>时，푓(푥)>0，4443所以0不是푓(푥)的极值点，是푓(푥)的极小值点，函数푓(푥)只有一个极值点.4故选：C3、函数y＝x2cos2x的导数为（）A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x答案：B解析：利用复合函数的导数运算法则计算即可．y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x故选：B填空题푥4、若对任意正实数푥,푦，不等式(2푥−푦)(ln푦−ln푥+1)≤恒成立，则实数푎的取值范围为__________．푎答案：(0,1]2解析：푦푦11由已知得(2−)(ln+1)≤，构造函数푓(푥)=(2−푥)(ln푥+1)，即푓(푥)≤恒成立，根据导数可判断函数푥푥푎푎푓(푥)的单调性及最大值，进而求得푎的取值范围.푥由(2푥−푦)(ln푦−ln푥+1)≤，푥>0,푦>0，푎푦푦1得(2−)(ln+1)≤，푥푥푎1设푓(푥)=(2−푥)(ln푥+1)，即푓(푥)≤恒成立，푎′12푓(푥)=−(ln푥+1)+(2−푥)⋅=−ln푥+−2，푥푥′′12푥+2푓(푥)=−−=−<0，푥푥2푥2′′所以푓(푥)在(0,+∞)上单调递减，且푓(1)=0，′′所以当0<푥<1时，푓(푥)>0；当푥>1时，푓(푥)<0；即函数푓(푥)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)单调递减，故当푥=1时，푓(푥)取最大值为푓(1)=1，1即1≤，所以0<푎≤1，푎所以答案是：(0,1].小提示：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．푎푥2−15、若函数푓(푥)=在(0，+∞)上单调递增,那么实数푎的取值范围是_________.푥答案：푎≥0解析：11先求函数푦=푓(푥)的导函数푓′(푥)=푎+，由题意有푓′(푥)=푎+≥0在(0,+∞)恒成立，运算即可得解.푥2푥23푎푥2−111解：因为푓(푥)=，所以푓′(푥)=푎+，由函数푦=푓(푥)在(0,+∞)为增函数，则푓′(푥)=푎+≥0在푥푥2푥21(0,+∞)恒成立，即푎≥−在(0,+∞)恒成立，푥21又−∈(-∞，0)，即푎≥0，푥2故答案为푎≥0.小提示：本题考查了已知函数的单调区间，利用导数求参数的范围，重点考查了不等式恒成立问题，属基础题.4